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1、菁优网2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1设，则3a3+12a26a12=（）A24B25CD2规定”为有序实数对的运算，如果（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）如果对任意实数a，b都有（a，b）（x，y）=（a，b），则（x，y）为（）A（0，1）B（1，0）C（1，0）D（0，1）3若x1，y0，且满足，则x+y的值为（）A1B2CD4点D，E分别在ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF=S1，SBDF=S2，SBCF=S3，SCEF=S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（）AS1S3S2S4B
2、S1S3=S2S4CS1S3S2S4D不能确定5设，则4S的整数部分等于（）A4B5C6D7二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6若关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是_7一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_8如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x0）于C，D两点若BD=2AC，则4OC2OD2的值为_9若的最
3、大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为 _10如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为_三、解答题（共4小题，满分0分）11已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值12如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的O1和BCH的外接圆O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点13如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点（1）求证：ABP=ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且PBQ=60，试求所
4、有满足条件的直线PQ的函数解析式14如图，ABC中，BAC=60，AB=2AC点P在ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求ABC的面积2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1设，则3a3+12a26a12=（）A24B25CD考点：二次根式的混合运算。专题：计算题。分析：先化简整式，然后将a的值代入即可解答：解：3a3+12a26a12=3a2（a+1）+（3a1）213当时原式=3713=24故选A点评：本题考查二次根式的混合运算，有一定难度，将原式化简是解决本题的关键2规定”为有序实数对的运算，如果（a，b）（c，d
5、）=（ac+bd，ad+bc）如果对任意实数a，b都有（a，b）（x，y）=（a，b），则（x，y）为（）A（0，1）B（1，0）C（1，0）D（0，1）考点：解二元一次方程组。专题：新定义。分析：根据新定义运算法则列出方程ax+by=a，ay+bx=b，由解得关于x、y的方程组，解方程组即可解答：解：由定义，知（a，b）（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a，ay+bx=b，由+，得（a+b）x+（a+b）y=a+b，a，b是任意实数，x+y=1，由，得（ab）x（ab）y=ab，xy=1，由解得，x=1，y=0，（x，y）为（1，0）；故选B点评：本题考查了二
6、元一次方程组的解法解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，根据法则列出方程组3若x1，y0，且满足，则x+y的值为（）A1B2CD考点：同底数幂的乘法。专题：计算题。分析：首先将xy=xy变形，得y=xy1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y的值，则可得x的值，代入x+y求得答案解答：解：由题设可知y=xy1，x=yx3y=x4y1，4y1=1故，从而x=4于是故选C点评：此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同4点D，E分别在ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF=S1，SBDF=S2，SBCF=S3，SCEF=S4，则S1S3与S2S
7、4的大小关系为（）AS1S3S2S4BS1S3=S2S4CS1S3S2S4D不能确定考点：三角形的面积。分析：首先作辅助线：连接DE，再设SDEF=S1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则，则可证得：S1S3=S2S4，即可得到：S1S3S2S4解答：解：如图，连接DE，设SDEF=S1，则，从而有S1S3=S2S4因为S1S1，所以S1S3S2S4故选C点评：此题考查了有关三角形面积的求解注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用5设，则4S的整数部分等于（）A4B5C6D7考点：部分分式。专题：计算题；整体思想。分析：由于，由此可以得到1S=，然后即可求出4S的整数部分解答
8、：解：当k=2，32011，因为，所以1S=于是有44S5，故4S的整数部分等于4故选A点评：此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6若关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3m4考点：根与系数的关系；三角形三边关系。专题：计算题。分析：根据原方程可知x2=0，和x24x+m=0，因为关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，所以x24x+m=0的根的判别式0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围解答：解：关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个
9、根，x2=0，解得x1=2；x24x+m=0，=164m0，即m4，x2=2+，x3=2，又这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，x1+x3x2； 解得3m4，m的取值范围是3m4故答案为：3m4点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边7一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是考点：列表法与树状图法。分析：利用列表法求出所有的举朝上的面两数字之和，得
10、出5的个数，即能得出朝上的面两数字之和为奇数5的概率解答：解：正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是：朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：=故答案为：点评：此题主要考查了用列举法求概率，列举出所有的可能结果是解决问题的关键8如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x0）于C，D两点若BD=2AC，则4OC2OD2的值为6考点：反比例函数综合题。专题：计算题；数形结合。分析：根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a
11、，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a，线段BD=b，根据BD=2AC，有b=2（a），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2OD2的值解答：解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，）AC=a，BD=b，BD=2AC，b=2（a）4OC2OD2=4（a2+）（b2+）=4+2+2=4+842=6故答案为：6点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值9若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为 考点：二次函数的最值；二次根式的应用。专题
12、：计算题。分析：根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将方程两边平方得出，y2的最大值与最小值，从而得出a2+b2的值解答：解：由1x0，且0，得x1由于，所以当时，y2取到最大值1，故a=1当或1时，y2取到最小值，故所以：故答案为：点评：此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y2的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算10如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为84考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。分析：首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的
13、性质，可得：a2+b2=352，RtAFERtACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得解答：解：如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225又RtAFERtACB，所以，即，故12（a+b）=ab由得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解25舍去），所以a+b+c=49+35=84故答案为：84点评：此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想三、解答题（共4小题，满分0分）11已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：计算题。分析：设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可解答：解：设方程x2+ax+b=0的两个根为，方程有整数根，设其中，
