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1、第四章 拉氏变换与S域分析拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏逆变换；S域分析系统函数零极点S时域特性和稳定性系统函数零极点S频响特性；拉氏变换S傅 里叶变换哈4；廉工土女卷DM他测试居鱼 哈玄淇工鼻丈&勺劭化测込居岂虬4.1拉氏变换定义.拉氏变换性质一、拉氏变换1.引言分析步骤:时域复频域时域 赫维赛德19世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义 适用：连续线性时不变系统 作用：简便变换线性时不变系统时域模型i）同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在変换式中ii）微积分一乘除法，微分方程一代数方程iii）指数、超越一初等函数iv）卷积一相乘，建立系统函数的概念v）零极点时域、频响、稳定性，零、极
2、点分析的概念評尹另敢睨一引勿甜MR沧加2. 傅里叶变换一拉氏变换(匚 |/(F)/v+o)F(q) = f(t)eJaldtJcoj r+s/W = FS)宀2 兀 J-s若/(0 = /(/”心)，则 i) /(r)通常为因果信号/(/) = 0 (r)/W-CO定义 F(5)= J f(t)esrdt另一方面= *(Wd0aF(s)es,dsJ (T js1 严 Sgr+M 1/(0 =云匸占FgW山彩花云j势霁硏即兔启旳加疥rind 三加F($)=L f(Oe-xtdt象函数iinJ；为单边拉氏变换对=FEds 原函数2兀j Jb-少傅立叶变换与拉氏变换基本区别F0) cr(肘，lim=
3、 0收敛坐标,收敛轴,收敛域单边拉氏变换,右边ii)称6为收敛坐标，S平面中cr cr(i部分为收敛域时间有限的有界信号，收敛坐标位于-00,收敛域整个平面例如/a)= /sa),只有取旷2,才使变为衰减八)0t、2 tFG) =/(比力，lim蚀严=oJ hr00（lim/（O = 0,与 关）/00哈玄淇工鼻女&勺助他测试居校剧*写系第二刃gcdb and 有界周期函数：（）lim/a）*6=o（b0）,收敛域为念右半平面 r,尸,广,limtneat =0 (cr 0),收敛域为右半平面/00 指数信号：/()= /,hm f(t)e 6 =lim a)f = 0 (cr a)rco 比
4、指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如/() = /综上:单边拉氏变换收敛域形式为bb4. 积分限问题与/的/ i/i(0 + k2f2(t) = A：!7(s) + k2F2(s)*家渎工鼻大卷他测貪鸟吆电jjj/jliJj ti/d濟規=丸)旳 and 3方例3：求 几 的拉氏变换(分a为实数和虚数两种情况) 解：i)当a为实数ealu(t) = r%a, -es,dt = -le(as),巾=-J (b a) Joa s0 s a 1r令d = o,则 U(F) = (b0), = (b0)ssii)设a为虚数，即a = j(D则0叫/=严” 八加j% sj%(b0)哈玄渎工鼻女&勺劭化
5、测込居y哈尔渎工鼻女卷自劭他测试5枚心4t!/)d例3:求sin6?rw(r), cosm(Z)的拉氏变换 解： eJu(t) = ! (b 0)S_ j%， 1 叫=Q 0)s + M cos(i)Qtu(t) = - (； +:) = -32 9 )2 s-J% s + ja)Q sz +S斷如心衍(卡-七()例3：求sinh(少)(f), cosh(ar)w(Z)的拉氏变换解： sinh(m)= -(eat -eat)1/11aZI IX=：()=7 (blczl)2 s-a s + q t-6T+)=*+严)(a | a I)*渎工土乂 $ &劭他帽钱JlIMUj2. 时域微分 7(0
6、 = F(s) = = sF(s) 一 /()dti)对比 Tf(t) = F(q)=巩广(切=ja)F)ii)注意：本书采用/(0一) 广)卜F(s)-/(O)-广(0)= 52F(5)-(0)-r(0)fVX f(f川一1 yv2 = 5z,F(5)-5w-r-1/(r)(0) dt,=n評弄勺加厅ti/id例4:电感的s域模型：1 V/ (0 = L斗= VL(S)= LsIl(5)一 AZl(0Jat若 Z/ (0_) = 0=匕($) = sUL(s) o vz = jcoUL3(0)匕（$）哈尔渎工鼻女卷0劭他测钱乌枚写第魏二寸j/）d3. 时域积分/(/) = F(s)n/(C必
7、=加 +以也J-sSS比较= F) =Ti 于血 = A2 + F(OMS)jo)证明： /(r)Jr = 匸 f(r)dT + /(r)Jr =/i(0)+ /(巧血哈玄淇工如丈&勺劭化厨试居技嶺金故:f(T)dr =JsF(s) I 严)(0)ss哈*廉工业衣&勺劭化测食鸟吆J或令：g(/) = f()dT 则：/(/) = g(F)JcoF(s) = /a) = sG(s) g(0)=G($) =F(s)( g(0)F($)( /(-(0)1=1哈尔韓工鼻女& 0劭化测钱事枚黒丄写第统二丸）gb si/id例5:电容的$域模型1 crvc(0 = J icr)drC J-00匕二厶（y“
8、（o）厶（叭冬（o） sCHCs sC svc(0) sC TY+v(5)t!/id4. 频域微分/(0 = F($)之一矿=4 F(s)as对比：J/(r) = F() =-7y(z)j = FXF(s) = J)-tf(t)e-s,dt故:) = F($)it a jl A # DM 化测试左校老案例6:求严的拉氏变换为正整数)求tsincvty t cos cot的拉氏变换!昇解： l = -=-rl = - = _- sds s= d = t,1d 2Oc 2=H.d=_i=_4 =1=4ds ssMI=甘Jco2、22 sinQ/= = /sinft?/ =*ds2a)s(S2 +/
9、2)2哈玄廉工鼻丈$0帯化测试居枝為余1, Ss2 -a)(“+2)2d cosa=r= tcosa)t =*- + -厂 + bds哈*廉工鼻女&创供化测钱乙枚心丄5. 频域积分/() = F(s) = 罗-jF(u)du 对比J|/a) = F()=p 一罟+ 兀/(0)5(。 = :F(G)d% 证明：厂 F(u)du =“)严 dQ duf+oo+sIr +coe Ut=fo m)LL 八皿4 Jf dtr+sesr resl=L )o_;F v=仪例7:求兰空的拉氏变换解： sin at = 75 +arsin6zr.严 ci . r “ flJ = I du = f 纟一dut Js u +a Js u 9()2+1ar+s dv|+s7isJf v2 + l匕2aP181,表4，常用函数拉氏变换6. 时移,、/(r)l = FG) ngmMo) =严F(s) (r00) 对比刃/( = F(血)=J/(r-ro) = F(o)e-dt证明:/a*）
