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1、第三章 广义系统的能控性和能观性能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔罗(R.E.Kalman) 在20世纪60时代初，引入这两个概念以来，已经证明了他们对于系统控制和系统估计问题 的研究具有基本的重要性。在正常系统中，能控性问题是研究系统的内部状态能否由控制输入 完全影响的问题，而能观性问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题。本章将正常系统中的能控性和能观性概念推广到广义系统，较为系统地讨论广义系统的能控 性和能观性的基本概念和基本属性，主要包括能达、能控和能观的定义、判据及规范型，系统的 结构分解以及实现问题。如同在正常系统中一样，它们刻画了广义系
2、统的结构性质，并因此构成 了广义系统设计的理论基础。3.1能达性在状态空间方法中，一个系统的状态向量完全刻画了系统的运动，因而简单地说，要掌 握系统的运动规律，只要把握其所有状态就可以了。一个状态能达性：对连续时间线性时变系统x = A(t)x + B(t)u,t e J和指定初始时刻t e J，如果存在一个时刻，以t e J, t t及一个无约束的容许控制u (t), t e t , t ,使系统01100 1状态由x(t0) = 0转移到x(t1) = x，则称非零状态x,在时刻t0为能达，当然还有系统完全、 不完全、一致完全能达的相关定义。在第二章中，给出了状态向量x(t)的表达式，由此
3、可知，x(t) e Rn,属于某一线性空间。 那么，x(t)所能取到的最大集合是什么？在正常系统中，这个集合是整个Rn空间，那么在 广义系统中如何呢？由此产生了广义系统的能达集的概念。考虑正则的广义系统Ex(t)=Ax(t)+Bu (t)(3.1.1a)j (t) = Cx (t)(3.1.1b)其中，x(t) e Rn, u(t) e Rm和j(t) e R/分别为状态、输入和输出向量；E, A e R心, B e Rnxm, C e R/邓皆为定常矩阵；E为奇异矩阵，且假定deg det(sE - A) = r 下面利用广义系统(3.1.1)的第一种受限等价形式来分析广义系统的能达性。 不
4、妨假设广义系统(3.1.1)具有如下特殊形式 x (t) = A x (t) + B u(t), j (t) = C x (t) 1 Nx ( t)= *2111x ( t- B U t,J (= t22-j(t) = C x (t) + C x (t)1 12 2112 C X( (3.1.2a)(3.1.2b)(3.1.2c)其中，x (t) e Rr，x (t) e R”-。下面的讨论同样适用于式(3.1.1)的任意一般情形。首先给出能达集的概念。定义3.1.1对于R n空间中的一点w，如果存在时间T 0，初始状态x1(0) e Rr, x1(T 广1x ：(T)形成的集合称为能达集，并
5、记为沉(英文中reachable的第一个字母)。这里，只给出了初始状态x (0)，而没有x (0)，原因是在时刻T(T 0)时，x (0)对122广义系统的状态没有影响。记= ImB2, NB ,Nh-1 B2 u(t) e Ch-1，使 x(T)=p=w，则称广义系统(3.1.1)在点W能达。所有这样的w(3.1.3a)w1w1- 2(3.1.3b)下面的结果给出了广义系统(3.1.1)的能达集。定理3.1.1广义系统(3.1.1)的能达集沮=Rr。 2证明 显然沮U R r 。所以只需证明R r U。对任w1 G R r ， w G Rr , w G，假设顷221222 h-1取七(0)
6、= e-Afw，并取u(t)为 t 0 0,z (t T) zo1” 、(t-T)h-1 z, t T(h -1)!h-1则 u(t) G Ch-1，Pu (i) (T) = -z，i = 0,1,，h-1，而且有ix (T) = eAx (0) = eA1Te-a1tw = w，x (T) = -? NiB u(i) (T) = w1111222i=0所以x (T)=o gW，由w 11x2(T)w2w1w2的任意性知R r U沮。因此 R r =M。由定理3.1.1知，广义系统中的能达集诉是线性空间R n的一个子集，且当是2R r的真子集时，诉也是R n的真子集，而不是整个R 空间，这与正
7、常系统不同。同时可以看出，当E非奇异时，广义系统变为正常系统，= Rr，即诉=R n，所以广义系统 的能达集是正常系统的能达集的自然推广。2特别地，如果考虑由初始条件气(0) = 0确定的能达集诉(0)，则有如下结果。定理3.1.2 记= ImB :AB，Ar-1B A 则1111 111沮(0) =(3.1.4)进而，如果考虑由初始条件气(0)丰0确定的能达集X1(0)，有如下推论。推论3.1.1记11(3.1.5)(3.1.6)x = eAtx (0) G R r : x = 0 G R n-r刊 x1 (0) = (0) + H x1 (0)3.2能控性(1) 能控性定义及判据(2) R
8、-能控性及判据脉冲能控性及判据(区别于正常系统的一个重要特征)(4)能控性的相关结论在正常系统中，与能达性相关的概念是能控性。能控性刻画了系统输入对系统的状态(也就 是对系统的运动)的支配程度，并且，由它(与能观性一起)引出的一些概念，如能稳和能检测等，构成了系统的极点配置、镇定问题、状态观测器、动态补偿器以及最优控制等一系列综合问题的 基础。因此能控性在正常系统中扮演着重要角色。同样地，能控性在广义系统中也起着相似的作 用，并且由于广义系统的运动模式的多样性，出现了各种能控性的概念，这些概念中有些是正常 系统中相关概念的自然推广，有些则是广义系统不同于正常系统的固有特性。本节将详细讨论广 义
9、系统的能控性问题。3.2.1能控性定义及判据从物理直观的含义讲，如果广义系统的每一个状态变量的运动完全由输入来影响和控制， 能由状态空间的任意的初始点达到任意位置，则称广义系统是(状态)能控的。下面给出其严 格的定义。仍以第一种受限等价形式来分析广义系统的能控性，即假设广义系统：3.1.1)具有 式(3.1.2)的特殊形式。定义3.2.1对于广义系统(3.1.1)，如果对任意的w e Rn，x(0) e Rn及时间t 0，存在容许输入u(t) e Cf0 t 0,七(0) e Rr及.e Rr,w e Rn-r，存在输入 u(t) e Ch-1，使 x(t) = w =1，即 X (t ) = w , X (t ) = w。则命2顷21 2题(b)成立。反之，若命题(b)成立，则由(2 )得= R r，= R n-r于是能达集1 12刊x (0)=沮(0) + Hx (0) = + Hx (0) = Rn111121于是广义系统(3.1.1)是能控的，即命题(a)成立。命题(b)和(c)以及(d)显然是等价的。从这个定理我们看到，能控性用系统矩阵刻画了广义系统的结构特征。下面用一个例子 来演示广义系统的能控性。例3.2.1考虑如下广义系统1 0 0X-X 一11
