《第一章 鞅 第二节 鞅的基本概念和性质范文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 鞅 第二节 鞅的基本概念和性质范文（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 鞅的基本概念和性质定义1-2-1设(0, F ,P)为概率空间，x ,t e T为概率空间上的一族随机变量,t则称x , t e T为概率空间(0, F , P)上的随机过程。t注1-2-1由随机过程的定义知，对固定的t e T , x为(0,F ,P)上的随机变量,t对固定的e0，x (o)为t的函数。以后设T = ,1,2,或T = 0,+x)U+切。t定义1-2-2设X二(x ,t e T为概率空间(0,F ,P)上的随机过程，如果t(a) X是(F 是适应的t t eT(b) ex | g, t e T(c )对 Vs t, s, t e T, EL |x = x , a.e.
2、t ss则称X = x ,t e T为F 的鞅。tt t eT如果有(c)对 Vs t, s, t e T,eL |xt s x , a.e.s则称X = x ,t e T为F 的上鞅。tt t eT如果有c )对 Vs x , a.e.s则称X = x ,t e T为F 的下鞅。tt t eT注 1-2-3注1-2-2如果X是上鞅，则-X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅，则X为 鞅。由定义 1-2-2 的条件 c 可知，如果 X 是鞅，则对 Vs,t eT ,都有eL = eL 。事实上，取 t s A t，则 t s, t t,F = xtt000一 0F = x ,Et0t0于是Ex =
3、Est0t0所以Ex 二 Ett0Ex L ex 。st如果X是下鞅，Vs eL ts事实上，Ex F l EL t totoEx = E x F eIx to ssEx 二 Ett0t0t0所以eL EL Elx 。tt 0s同样地，X是上鞅，Vs 0. g 是 kkeL 0为相互独立的随机变量，且Ey |1nn 01n-1并假设E|b | 1。定义随机变量的序列 nx = x +乙b y ,(x为常数)n o k k ok=1F =b (y ,y，,y ),n 1no 1n则x , F , n 1是鞅。事实上，nnlx I lxJ + 工 bjyjk=1 g0 厂k 1k=1E L | 1
4、是鞅。nn这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为12,事件y“= 1表示第n局赢，y =-1表示第n局输，所以nE y L 0n假定y ,n 0是独立的，而赌者在第n局的策略g依赖于以前n-1局的战绩,nn即赌注b是y ,.,y ,y ,y的函数，我们记之为nn-1210则第n局的盈亏为x = x + b yn 0 k kk=1这里设初始赌注为x 0，于是我们可知0ex - x = 0nn-1即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上eL x L eL eL nn1nn1=e|EL F ! eL n n1n1二 E L - E lx L 0n1n1例 2 Doob 的鞅过程设y , n 0是随
5、机变量序列，X是随机变量，ex 1是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上,nnEx |L E jelx|F EEx|F 4nnn又定理 1-2-1=E x | T，y , F ,t T是鞅(或下鞅)，则tttt(1) x + y ,F ,t T是鞅(或下鞅);t t t(2) x v y ,F ,t T是下鞅；t t ta y , F ,t T是上鞅。t t t证明：(2)设x y，则 eL v y |Ftttt3)L EC |F ) xsss又eL F Ey |F y“ st ss所以，eL v y IF tt sx v y 。ss习题1-2-2：证明(1)(3)。定理1-2-2(1)设x
6、 ,F ,t T是鞅，f是定义在R上的凸函数。如果对一切ttt e T，E F (x ) T是下鞅，f是定义在R上的非降凸函数。如果对一切t e T，ttEF(x ) T 是上鞅，f是定义在R 上的非降凹函数。如果对一切t g T,ttEF(x )，则f (x ),F ,t g T是上鞅。t证明：(2)因为x ,F ,t T是下鞅，所以t因为 f 非降，又因为 f 是凸函数，f QL |F 兀 Ef (x )F t st所以E f (x )l F f QL Ff (x )。tst ss习题 1-2-3：证明1)(3)。推论1-2-1设x ,F ,t T是鞅(或非负下鞅)，X 1，且对Vt g T，I x I九可t tt积，则I x I九,F ,t T是下鞅。tt证明：习题 1-2-4鞅。这里，推论1-2-2 如果x , F , t T是下鞅，则X +, F ,t Tt tt tx + = x V 0。 tt证明：习题 1-2-5习题1-2-6设x ,n 1为独立随机变量序列，Ex = 0，则x =丫 x为鞅序nnnkk=1列，这里 F =b(x , k n)。nk
