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1、第二章 导数与微分数学中研究导数、 微分及其应用的部分称为 微分学 ，研究不定积分、 定积分及其应用的 部分称为 积分学 . 微分学与积分学统称为 微积分学 .微积分学是高等数学最基本、 最重要的组成部分， 是现代数学许多分支的基础， 是人类 认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一 .恩格斯(1820-1895 )曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了” . 微积分的发展历史曲折跌宕， 撼人心灵， 是 培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材(本部分内容详见光 盘).积分的雏形可追溯到古希腊和我
2、国魏晋时期，但微分概念直至 16 世纪才应运萌生 . 本 章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容 .第一节 导数概念从 15 世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的 发展，形成了一个新的经济时代 . 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得 到了很大的发展 . 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基 础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展 . 在各类学科 对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小
3、值 . 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢 程度，即所谓 函数的变化率 问题 . 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分 别给出了导数的概念 .分布图示引言引例 1引例 2引例 3导数的定义关于导数的几点说明利用定义求导数与求极限(例 1、例 2)例3 例 4例5例6例7左右导数例8例9导数的几何意义例 10例 11导数的物理意义导数的经济意义可导与连续的关系 例 13例 14例 15内容小结课堂练习 习题 2- 1内容要点：一、引例 ： 引例 1 变速直线运动的瞬时速度； 引例 2 平面曲线的切线引例 3 产品总成本的变化率二、导数的定义
4、：注 ：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义， 纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质 : 函数增量与自变量增量的比值 卫 是函数y在以x0和x0为端点的区间上的平均变化率，而导数yxm则& _是函数y在点x处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1. 求函数的增量：Ay = f (x ： =x) 一 f (x);2. 求两增量的比值：卫二卫型；AxAx3. 求极限ylim -.&三、左右导数定理1函数y = f(x)在点x处可导的充要条件是：函数y = f(x)在点x处的左、右导数
5、均存在且相等四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系定理2如果函数y二f(x)在点x处可导，则它在 x处连续.注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作例题选讲：导数概念的应用例1( E01
6、)求函数y =x3在x =1处的导数f (1) 解 当x由1变到1 x时，函数相应的增量为所以例2( E02)试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).f (2x) -f(2a)(1) lim;x a(2) 叫卫勺，其中f() =0.解(1)(2)因为 f(0) =0,于是龙叫丄 pm f(x)f(0) = f ().注：灵活应用导数定义的三种形式求函数极限例3( E04)求函数f(x) C(C为常数)的导数解 f (x)=limf(x 町_(% .linCC =0,即(C) hhT h例 4 (E05)设函数 f(x) =sinx,求(sin x) 及 (sin x) - x=-4* s
7、 i rx(+h) _si x(six) =him=h s i limeo s( 2)2 二cox,即(sin x) =cosx. h2(E06)求函数y =xn(n为正整数)的导数.(xnfdim疋=lim nxn乜“齐nxnhT h 42!即(X=nxn A.更一般地(x1)仪山(心R).例如，(.X) =_x21 d 八士(E07)求函数f (x)= ax(a .0,a才1)的导数.、anaxx.ah -1xa limaT hMP h求函数y = log a x(a 0, a = 1)的导数(ax)limln a,即(ax) =ax In a, (ex) =ex.mmog(x h)_lo
8、gx 川叶h 0hh 刃hl o g(1)xhxx11hl i nh o g(1)hxx 0x1l o gex左右导数例8 ( E03)求函数f(x)=sin x,x : 0x,x _0解 当 _x : 0 时，-y = f (0 ： =x) f (0) sin =x -0 =sin -x, 故f_(0)lim 3 = lim 沁=1.盘T Ax当 lx0 时，=y = f (0 lx) - f (0) = . ：x - 0 - . x,故f(0) = lim y = lim x =1.由f_(0) = f (0) =1,设f(x)为偶函数, 因f (x)为偶函数，f (0) = lim y
9、=1.At Ax且 (0)存在.证明f (0) =0.故有 f (-x)二 f (x),因为已知f (0)存在，即有(0) = f _(0) = f (0),所以 f (0) - - f (0) = f(0) =0.例10求等边双曲线y法线方程所求切线方程为y -2二解 由导数的几何意义,得切线斜率为1,即 4x y -4 = 0.法线方程为 y _2二丄x但在x =0处有,即2x_8y15=0.n 2丿用定义计算导数 导数的几何意义例11 ( E08)求曲线y =叔在点(4,2)处的切线方程解因为故所求切线方程为 y_2=1(x_4),即_x4y4=0.4函数的可导性与连续性的关系例12(
10、E09)设某种产品的收益 R(元)为产量x(吨)的函数 求 生产200吨到300吨时总暇入的平均变化率；(2)生产100吨时收益对产量的变化率.解(1).x= 300 -200=100,：R = R(300) - R(200) =6750.故 ：R=R(300)-R(200)= 6750 乂75(元/ 吨).xx100(2)设产量由x0 变至U x0 * LX，贝U故当x0 =100时，收益对产量的变化率为1R (100) =800100 =750 (元/ 吨).2例13( E10)讨论函数f(x) =|x|在x = 0处的连续性与可导性解 如图，易证函数f(x)二x在点x=0处是连续的.下面
11、主要来讨论f(x)二x在点 x=0处的可导性.因为I(Jh)但，故恤f(0 h)f(0)二恤匕彳 hh0h0 hlim f(0 h) -f(0)|计乜=_1,即 f.(0)=f_(0),所以函数 f (x)在 x=0 点不可导. hj-hhj-h证毕注：一般地，若曲线y=f(x)的图形在点X。处出现尖点，则它在该点不可导因此，如果函数在一个区间内可导，则其图形不出现尖点，或者说是一条连续的光滑曲线匚 1ixsinx 式 0例14(E11)讨论函数f(X) . x,在x=0处的连续性与可导性(图2-1-2).o,x = 01 1解 si n是有界函数r lim xsin 0. xx0xf (0)
12、 =lim f (x) =0,. f (x)在 x =0 处的连续. xT当x 0时,弓在1和1之间振荡而极限.；y(0 x)sin不存在,.f (x)在x =0处不可导.例15设函数f (x)二X2ai,x 00x： 1,问a取何值时,f (x)为可导函数解 只须讨论在x=0处f(x)为可导时a的取值情况在x=0处，因为 要使在x =0处可导，必须lim 二1 =0二a =：1.Ax所以当x =0时f(x)为可导函数在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第七章第一节的Koch雪花曲线描述的函
13、数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想 界这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作课堂练习1函数f(x)在某点X。处的导数f(x0)与导函数f(x)有什么区别与联系？2设(x)在 x =a处连续，f (x) =(x2 -a2) (x),求 f (a)3求曲线y =2x-x3上与x轴平行的切线方程莱布尼茨(Friedrich , Leibniz，15971652)-博学多才的数学符号大师出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。他的学识涉及哲学、 历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域。并在
14、每个领域中都有杰出 的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从 而使他以伟大数学家的称号闻名于世。莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任外交官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名流。从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学前沿阵地。莱布尼兹在从事数学研究的过程中，深受他的哲学思想的支配。他的著名哲学观点是单子论，认为单子是“自然的真正原子事物的元素”，是客观的、能动的、不可分割的精神实体。牛顿从运动学角度出发，以“瞬”(无穷小的“ 0”)的观点创建了微积分。他说dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇
