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1、一族新的离散可积双哈密顿系统吴迪【摘要】数年来，科学界对孤立子的研究呈不断开展进步趋势，许多领域中都存在孤立子现象以及与孤立子密切相关的问题，比方，在对无中心Virasoro对称代数或孤立子方程进行研究时产生的可积耦合系统。目前，学术界已找到多种求解可积耦合的方法：1，摄动；2，拓展相应的Lax对；3，拓展新的Loop代数；4，运用半直和李代数。首先通过离散零曲率方程得到一族新的可积晶格方程，再由迹-恒等式建立一个双-哈密顿结构，最后，证明了该方程族是Liouville可积的。【关键词】可积晶格方程；双-哈密顿结构；Liouville可积Anovelfamilyofdiscretebi-Ham
2、iltoniansystemsWUDiCollegeofMathematicsandSystemsScience，ShandongUniversityofScienceandTechnology，QingdaoShandong266590，China【Abstract】Solitontheoryresearchisdevelopinginmanyscientificfieldsandthereexistssolitonandsolitontheorycloselyrelatedproblems，integrablecouplingsystemisinthecenterofthestudywit
3、houtVirasoroalgebraorsymmetricallysolitonequation.Scientistshavefoundmanyintegrablecouplingmethods：one，theperturbationmethod；two，expandthecorrespondingmethodofLaxon；three，extendnewLoopalgebraofthemethod；four，theuseofahalfstraightandliealgebramethod.Anovelfamilyofintegrablelatticeequationisderivedfro
4、mthediscretezerocurvatureequations.Abi-Hamiltonianstructureofobtainedfamilyisestablishedbydiscretetraceidentity.Then，Liouvilleintegrabilityfortheobtainedfamilyisdemonstrated.【Keywords】Integrablelatticeequation；Bi-Hamiltonianstructure；Liouvilleintegrable1研究背景自然界中有很多复杂的现象可以用可积晶格方程来描述，比方，晶体中的质子振动，自然界中的
5、脉冲现象，电子网络分布以及电流等等。至此，科学家们已经从多种角度对可积晶格方程进行了系统化的研究，如逆-散射转换1-2，对称和主对称3-4，连续-极限和r-矩阵结构【5】，哈密顿和双-哈密顿结构6-9，可积耦合系统10-11，由Casorati行列式建立复合解12，达布变换13-14等等。如果一個方程族能够作为谱问题3和4的相容性条件那么，方程族1是拉克斯可积的。其中，离散的空间谱问题如下所示以及如下的相应时间谱问题其中un=un，t，n是离散变量，t是连续变量，nZ，tR。晶格函数fn的位移算子E及其逆算子的定义为Efn=fn+1=fn+1，E-1fn=fn-1=fn-1，nZ5空间谱问题3
6、和时间谱问题4是方程族1的拉克斯对，显然，寻找适合空间谱问题3的新的可积晶格方程仍然是十分复杂的。此外，双-哈密顿结构8-9的存在性问题是可积晶格方程的特征之一。假设一族可积晶格方程具有双-哈密顿结构，那么可以找出一个继承算子，通过计算得到相应方程族的守恒泛函和对称性。迹-恒等式是建立可积晶格方程族的双-哈密顿结构的有效方法之一6-7。文章结构如下，第一节，介绍孤立子的研究背景。第二节中，我们引入一个离散的空间谱问题：上面公式中的un=是位势向量，n=是特征函数向量，是谱参数并且t=0。第一步，选取一个适宜的时间谱问题4，第二步，运用离散零曲率方程导出一族可积晶格方程。第3节中，建立导出的可积
7、晶格方程族的双-哈密顿结构，然后由迹-恒等式导出其相应的守恒泛函，因此可积晶格方程族的刘维尔可积性得到证明。最后，第4节中，有一些相关的结论和评价。2一族新的可积晶格方程这一节中，我们将推导出一族新的可积晶格方程。首先，求解驻定离散零曲率方程EnUn-Unn=n+1Un-Un-Unn=07这里方程族7的具体形式为运用Laurent级数展开式然后将9代入8中，得到初始条件如下所示a-a=0，b=0，c=0以及相应递推关系：根据命题【7】得知a，b，c，m1是局部的。假设取a=，且用差分算子E-1的逆运算求解a，m1时，我们取常数为0，因此递推关系10唯一的决定了a，b，c，m1。经过计算得到前两
8、个集合如下：假定由10直接进行计算，得到显然，方程族11与Un不耦合，所以选取一个修正项假定，m0经过计算得到如下方程显然，修改正的方程与Un耦合。下面介绍一个适合谱问题6的时间谱问题：所以，空间谱问题6与时间谱问题12的相容性条件为：该相容性条件等价于离散零曲率方程：因此，13给出了微分-差分方程族的一族可积晶格方程，如下所示所以，方程族14的拉克斯对由6和12构成，因而，14是拉克斯可积的。m=0时，14是一个平凡的线性系统m=1时，方程族14首个非平凡可积晶格方程，如下所示3方程族14的双-哈密顿结构这一节中，任务是建立方程族14的双-哈密顿结构。为了更好的进行下一步以及更深入的讨论，这
9、里介绍一些概念。首先，f，g表示fn与gn的标准积，R2表示二维欧式空间值得注意的是fn，gn于无穷大处趋于0，亦即fn0，gn0，n。然后表示Gateaux导数定义。接着，等式=假设J为斜对称算子且满足Jacobi恒等式，那么称线性算子J为哈密顿算子。根据参考文献【7】，记以及=TrXY，和为同阶矩阵。易知运用参考文献【7】中的迹-恒等式16将拓展式代入16，并且平衡方程16中等式两端的-2m-1系数，结果如下17一个特殊情况考虑如下，在17中令m=0时，经过计算得到=0。因此，17可以写成-=-2m-，假定=，m0我们有=-，m0，通过计算，进一步得到其中J=利用方程10经过一定计算，得到
10、如下递推关系=，m0这里是一个22阶矩阵。=E定义了变分导数。因此可以用如下的双-哈密顿结构重写方程14，如下所示u=J=J=J，m1.18因为方程15属于方程族14，所以，15具有双-哈密顿结构：u=J，=19为了证明离散双哈密顿系统18是刘维尔可积的，下面引入泊松括號：f，g=，J20证明极大幂守恒泛函的存在是十分重要的，为了得到结果，经过计算得到同理得到，=-，由于李括号具有自反性，容易得到，=-，所以，=0，m，l121以及t=，=0，m，l122由上述结论，我们得到如下定理。定理11是方程族14或18的守恒泛函。在与泊松括号20相关的对合中成对的进行变化。2方程族14中的方程都是Li
11、ouville可积的并且具有离散双-哈密顿结构。4结论与评价在这篇文章中，首先引入了一个离散谱问题，然后由离散零曲率方程推导出一族离散的可积微分-差分方程。通过迹-恒等式，为得到的方程族建立一个双-哈密顿结构。然后，提出一些常见的守恒泛函，这暗指获得的离散双-哈密顿系统是刘维尔可积的。此外，还有其他的可积性问题值得进一步研究，例如达布变换、对称与主对称、可积耦合系统、半直和李代数等等。【参考文献】【1】ABLOWITZMJ，SEGURH.SolitonsandtheinversescatteringtransformM.Philadelphia：Siam，1981.【2】NEWELLAC.So
12、litonsinMathematicsandPhysicsJ.1985.【3】ZHANGHW，TUGZ，OEVELW，etal.Symmetries，conservedquantities，andhierarchiesforsomelatticesystemswithsolitonstructureJ.Journalofmathematicalphysics，1991，327：1908-1918.【4】FUCHSSTEINERB，MAWX.AnapproachtomastersymmetriesoflatticeequationsJ.CambridgeUniversityPress.，1999
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