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1、 1 17.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情分析1考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)2考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围基础知识来源:1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域(2)由于对直线AxByC0同一
2、侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题来源:数理化网注意事项1.确定二元
3、一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点2.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线
4、，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值3. (1)画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化来源:(2)求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C2个 D无数个解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直
5、线2xy100恰过点A(5,0)，且斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)答案B【变式1】 已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A1 B3 C1或3 D0解析其中平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k1.答案A考向二求线性目标函数的最值【例2】已知变量x，y满足则z3xy的最大值为()A4B5C6 D7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直
6、线3xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B(2,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z3xy取得最大值，最大值是7.答案D【变式2】 已知变量x，y满足条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a，a.答案D题型三求非线性目标函数的最值【例3】变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C
7、(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.【变式3】 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2 (y2)21上，那么|PQ|的最小值为()A. B.1C21 D.1解析如图，当P取点，Q取点(0，1)时，|PQ|有最小值为.答案A题型四线性规划的实际应用【例4】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐
8、含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在B(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求【变式4】某运输
9、公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ()A4 650元 B4 700元C4 900元 D5 000元解析设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z450x350y，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，z450x350y50(9x7y)，在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元答案C重
10、难点突破【例5】变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解：由约束条件，作出(x，y)的可行域如图所示由解得A(1，)由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率. 观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|. 2z29.巩固提高1设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为()A11 B10C9 D8.5解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示又z2x3y1可化为yx，结合图形
11、可知z2x3y1在点A处取得最大值由得故A(3,1)此时z2331110.答案：B2若zmxy在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z的最小值是()A1 B1来源:数理化网C0 D0或1解析：画出平面区域，可以判断出z的几何意义是直线mxyz0在y轴上的截距，只有直线mxyz0与直线x2y0重合时，才符合题意，此时，相应z的最小值为0.答案：C3 P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x4y100距离的最大值为() A2 B4来源:C6 D8解析：如图所示，结合图形可知点A(2,1)到已知直线距离最大，则最大值为4.答案：B4设双曲线4x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数zxy的最小值为()A2 BC0 D解析：双曲线4x2y21的两条渐近线方程为2xy0,2xy0，与直线x围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数zxy在点P(，2)处取得最小值为z2.答案：B5如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_解析：令b2xy，则y2xb，如图所示，作斜率为2的平行线y2xb，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为b，此时b2xy取得最小值，为b2111.答案：1
