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1、集合与数学方法第七章 湖南省衡南五中 龙诗春 邮编 421101近世代数、概率论、拓朴学、模糊数学等都以集合为基础，数学无处不隐藏着集合的影子。作为中学的数学方法，它与集合有着什么样的关联呢？请看一个例题：设P：函数y=ax22x1在1，）内单调递增。Q：曲线y=x22ax4a5与x轴没有交点。如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围。分析：P与Q有且只有一个正确意味着P正确但Q不正确、P不正确但Q正确两种情形。从整体来看，P与Q还存在两种情况：P和Q都正确、P和Q都不正确。而P正确与P不正确在集合中体现为集合A与集合CUA。解法一：P正确a=0或者a0。P不正确a0Q正确=4a24(4a5
2、)01a5。Q不正确a1或a5。则P正确但Q不正确a1；P不正确但Q正确0a5。P与Q有且只有一个正确 a1或0a5。解法二：P正确或Q正确的a的取值范围记为集合U，P和Q都正确的a的取值范围记为集合A，则P与Q有且只有一个正确的a的取值范围为CUA，而U=a| a5 ，A=a|1a0，CUA=a| a1或0a5。我们可以感受到：这一问题的解答过程处处闪耀着集合思想的光芒。集合与中学数学方法紧密联系，你中有我，我中有你，下面我们就一一地来欣赏它。1、集合与分类讨论例1.1、设函数f(x)=x2+xa+1，xR。(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值。分析：（1）判断函数f
3、(x)的奇偶性主要是看f(x)与f(x)的关系，容易观察到当a=0时f(x)为偶函数。当a0时，验证f(x)在互为相反的两个自变量值上函数值的关系来帮助判断。（2）去绝对值使f(x)向二次函数转化，再考察对称轴与区间的关系求最值。解：(1)当a=0时，函数f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此时f(x)为偶函数。当a0时，f(a)=a2+1，f(a)=a2+2a+1，f(a)f(a)，f(a)f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当xa时，函数f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+。若a，则函数f(x)在(,a上单调递减，从而函数f(x)在（,a上的最小值为f(a)=
4、a2+1。若a，则函数f(x)在（,a上的最小值为f()=+a，且f()f(a)。当xa时，函数f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，则函数f(x)在a,+）上的最小值为f()=a，且f()f(a)；若a，则函数f(x)在a,+)单调递增，从而函数f(x)在a,+）上的最小值为f(a)=a2+1。综上，当a时，函数f(x)的最小值为a；当a时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a时，函数f(x)的最小值是a+。点评：运用数学观察力和直觉能力，先考察特殊值，再看一般值。将混合型的函数向单一的函数转化，因绝对值而分类，在此基础上，又因对称轴与区间的关系进行第二次分类。这里分类的层次分明，且
5、做到不重不漏。从上面例题的解答中可以看出：分类讨论实际上就是将考察的对象作为一个全集U，按照一个确定的标准，把集合U划分为若干个子集(=1、2、)，且使=（），=U。只要就每个解决了问题，综合起来也就解决了U上的问题。如果对于每个仍然无法解决且还需要对进行划分，这时就每个(=1、2、)，按照另一确定的标准，把集合划分为若干个子集（=1、2、），且使=（），=。只要就每个解决了问题，综合起来就解决了，(=1、2、)解决了，相应地U上的问题也就解决了。例1.2、试证：集合1，2，3，2001，2002中存在一个由1602个元素组成的子集，其中没有一个元素是另一个元素的4倍。分析：问题的关键是要找到
6、元素尽量多的集合，它是已知集的子集，并且没有一个元素是另一个元素的4倍。在1，2，3，2001，2002中，把4倍超过2002的元素全部找出来，显然这些数中没有一个能是另一个的4倍，它们组成集合，余下的元素中，4倍全在中的数全部去掉，这些数组成集合。再在余下的元素中进行挑选。证明：因20024=5002，故任何一个大于500的整数与4的乘积都大于2002，记=501，502，2002，中有1502个元素。5004=125，记=126，127，500，中有375个元素，且中每个元素的4倍都是中的元素。1254=311，记=32，33，125，中有94个元素，中元素的4倍都是中的元素，但不是中的元
7、素。314=73，记=8，9，31，中有24个元素，中元素的4倍都是中的元素，但不是和中的元素。74=13，记=2，3，7，中有6个元素，中的每个元素的4倍都是中的元素，但不是、和中的元素。=1，中元素的4倍是中的元素。、是集合1，2，2001，2002的一个划分，由上面的关系知，就符合其中没有一个元素是另一个的4倍，这时中的元素个数为1602，故即为所求。点评：根据解题需要把集合A划分为n个两两不交的子集A1，A2，An，再找出满足条件的子集Ai(i=1,2,，n)。例1.3、设x0,，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。分析：分区间，化同名，用单调性得结果。解：令x=0,，分
8、别代入cos(sinx)和sin(cosx)易得cos(sinx)sin(cosx)。当x时，0sinx1，-1cosx0，则cos(sinx)sin(cosx)。当0x时，下面证明cos(sinx)sin(cosx)。要证明它，只要证明sin(-sinx)sin(cosx),0x，则0-sinx，0cosx，故只需证-sinxcosx，即证sinx+cosx，而sinx+cosx=sin(x+)，cos(sinx)sin(cosx)。综上知：x0,时，总有cos(sinx)sin(cosx)。点评：本题采用先易后难，先特殊后一般的方法，同时运用分析法找解题思路。实际上,集合的一个分类决定着一
9、个等价关系,而一个等价关系同样决定着一个分类,即分类的标准数学上通常以等价为依据。练习一1、若的大小关系（ ）A B C D与x的取值有关2、如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）AKBHCGDB3、若函数f(x)=lg(a+2)+sinxlg(a-2)的最大值为2，则a=_。4、某班星期一课表需要排数、理、化、语文、体育共五节课，若体育不排第一、二节，数学不排最后一节，不同的排法种数有_。5、设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；(0
10、5年全国卷1)（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。6、已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当nyn+1(n=0,1,2,)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），设数列xn由f(xn)=n(n=1,2,)定义。（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）计算xn；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域。7、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。8、已知，讨论函数的极值点的个数。2、集合与正难则反例2.1、四面体的顶点和
11、各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种分析：从正面入手，则要找出其中一个点不在另三点所在平面上的所有情况数，有些困难。若从反面考虑，先找出所有共面的情况数则答案可得。解：任取4个点共C=210种取法。四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种。答案：C从上面例题的解答中不难看出：正难则反就是指在解决问题的过程中，原问题的对象构成一个集合A，直接解决A遇到障碍，转而从集合A的补集CUA入手，先解决CUA，进而解决A。例
12、2.2、在x2+4mx4m+3=0、x2+(m1)x+ m2=0、x2+2mx2m=0三个方程中，至少有一个方程有实根，试求m的取值范围。分析：三个方程的实根情况为：恰有1个有实根，恰有2个有实根，恰有3个有实根，没有1个有实根。三个方程中至少有1个方程有实根记为集合A，则A的补集为“没有1个有实根”。求出A的补集中m的取值范围即可得到A时m的取值范围。解：三个方程没有1个有实根，则（4m）24（4m+3）0且（m1）24m20且（2m）2+8m0，解这个不等式组得m1。故符合条件的m的取值范围为（，1，+）。例2.3、有一个问题，在半小时之内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是。计算：问
13、题得到解决的概率。分析：问题得到解决是指甲乙两人中至少有1人解决问题，“问题得到解决”记为A，“问题未得到解决”记为B，则P（A）=1P（B），只要解决P（B）就可以了。解：设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A，乙能独立地解决该问题是事件B那么两个人都未解决该问题是事件，由于两人是相互独立地求解，于是得到： P（）=P（）P（）=（1）（1）=。从而“问题得到解决”这一事件的概率为1P（）=1=。例2.4、在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，以这些点为顶点的所有可能的三角形中，证明其中最多有70的三角形是锐角三角形。分析：若能证明其中至少有30的三角形是非锐角三角形则原问题也就得
14、证。证明：任给5个点，其中没有三点共线，则一定可以找到以它们为顶点的三个非锐角三角形。下面分三种情况讨论。若五个点组成一个凸五边形ABCDE，则这个五边形中至少有两个内角为钝角。它们可能相邻（例如A、B），也可能不相邻（例如A、C）。注意四边形ACDE中至少有一个内角非锐角，这样就找到了三个不同的非锐角，相应地得到三个非锐角三角形。若五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD，另一点E在ABCD内部，则EA、EB、EC、ED相互间的夹角至少有两个钝角。再加上ABCD中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形。若五个点中有三点组成一个三角形ABC，另外两点D、E均在ABC内，由于ADB、BDC、CDA中至少有两个钝角，我们可以找到四个钝角三角形。综合可得，任给五个点其中无三点共线，一定可以找到至少三个以它们为顶点的非锐角三角形。由于每个非锐角三角形至多属于个五点组，而五点组共有个，所以100个点组成非锐角三角形至少有个，它是三角形总数的=。因此，锐角三角形的个数不多于三角形总数的1=70，即最多有70的三角形是锐角三角形。 例2.5、某先生居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(
