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1、线性系统的坐标变换及其相关特性坐标变换的概念：系统坐标变换的几何意义就是换基，即把状态空间的坐标系由一个基 底换为另一个基底。坐标变换的代数表征：对系统的坐标变换代数上等同于对其状态空间的基矩阵的一个线性 非奇异变换。线性时不变系统的坐标变换的一个状态空间描述：(1)X Ax Bu y Cx Du对（1）式表征的线性时不变系统的状态空间描述，引入坐标变换即线性非奇异变换xp 1x，则变换后的系统系统状态空间描述为:& AxBu（2）y CxDu推导过程如下：xp 1xx p 1X&p 1)& p 1(AxBu)p 1Apx p 1BuyCx Du CpxDu此时，原系统的状态空间描述与变换后的
2、系统的状态空间描述之间的系数矩阵有如下关系： 1 1 A p Ap, B p B,C Cp,D D对线性时不变系统的（1），引入同样的线性非奇异变换G(s) G(s) ,则变换前后的系统的传递函数不变，即成1立 x p x 。进而得G(s) Cp(sl p 1Ap) 1p 1B DCp(sl p 1Ap)p 1 1B DC(sl A) 1B D G(s)基于上述讨论可得出在线性时不变系统变换下系统具有一些特性：(1) 对线性时不变系统，不管是系统矩阵还是传递函数矩阵，其特 征多项式在坐标变换下保持不变。(2) 对线性时不变系统，系统矩阵A的特征值在坐标变换下保持不变，而特征向量在坐标变换下具有
3、相同的变换关系，即对X p 1x的线性非奇异变换有：v p 1vi,i 1,2,3L线性时变系统的坐标变换的一个状态空间描述：:& A(t)x B(t)u( 3)y C(t)x D(t)up(t)x对线性时变的状态空间描述(3)，引入坐标变换即线性非奇异变换 X(4)， p(t)为可逆且连续可微，则变换后的状态空间描述为：& A(t)x B(t)u(5)y C(t)x D(t)u推导过程如下：对(4)式两边关于t求导得:& p(t)& p(t)x( 6)对(4)式两边关于x求导得：& p(t)(7)以及由(4)式变换得到：1 _x p(t) x(8)将上述(6)、(7)、(8)式代入(3)可得
4、：& A(t)xB(t)uy C(t)x D(t)u( 5)经过变换之后，时变参数之间的关系如下：A(t) P(t)A(t)p1(t) P(t)p 1(t)B(t) p(t)B(t)C(t) C(t)p1(t)D(t) D(t)若在上述线性时变系统中添加以下条件：对A(t)为周期性矩阵既满足A(t) A(t T) 0的线性时变系统(3) 式引入维变换矩阵p(t)，p和在t,上为连续和有界并存在有限实常数使成立：detp(t) 0,所有t t o则上述 A(t),B(t),C(t),D(t)到A(t),B(t),C(t),D(t)的变换为李亚普诺夫变换。李亚普诺夫变换不改变系统的稳定性，但是一般等价变换并不能保证这一点。
