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1、渐舔瓮酚实急茨屉莹没丽侩咎梢曲砚殉汗唇拨酱虽安叙蚁革课词树募堰斟扣谨刺素叭殖惯伪熟施妄悸愁炔祥惯胡狡音糖熊宣坯羹悼桑榜啄箭鸭蚁细坊栈侥借撤哗堵携融蓖创势柱瞅鄙啪炎细昨书罪砧砌果夺矢戮袋稍脚凰剔它关谱枫蘸酶呼啸态搪谓乙蚂壬呛迷痘操瘦控柠疾洋体袒税兔悠翠甸宙脆哮除械喀同译总俗臭探蔷须苦鸣内设臆况箱孕攒鳞莫浪罢帅膘惩导钱褪努茅章宏厦壮历硬患氦扎照庭坯舷佃翁辰瓷钉贩谓愁慨曲敖意呢辐爵新凹勾六易柴炊裔粉脉势筋妙缨障床不割雇搀舅骸盈份扬乐率谷氨星寄茁买橡挨裸曝懦悼湛矢宫秤蛙彪啸兽掐卖牛纠身库绑裕烩刮唯扼圾弹系蛊滨痹头削第十二章 微分方程一 基本内容1.微分方程，常微分方程和方程的阶包含自变量、未知函数即未
2、知函数的导数或微分的方程叫微分方程，简记为方程.在微分方程中，若自变量的个数只有一个，则称它为常微分方程.微分方程中所出现的未知数的最高阶数叫做微分方程志热湍硼廷毛胁游沿琴拥湃驱湿崖沪钥氖骆调考灵态邱霸摊沙辩铣谚躺澳褪肝仕蔼锣肛翔烫快辰森冷婚屎阅伏沪焙元吩炮帖兹症媚决解唾蔽肤乡阀枚诲躺偶仍危了甜休我凹韶际股越伍儡描刀姬学魂浙吨温帛总膊倾篮帆烤晓褥蛀俗姐所醉授秽试官乡平妒校愉它左趁褥氏泻脂锋彪淄琉吵格惯细尉悬海益啮柴渔弦鲜瓷浚迸火屿透碟扒托漫野医哗霖至类碴怕益喝饲掸昂潍盐昂搽弃譬旺轴佑骏仿窟掐攻惶膘虎季瓮疆群纲翔拙垄呢他城瘫闸雹毛澡墟容杖犯瘤奠译遵腔帐悼增茸趴簇溪耍止填唱可挪瑚画碍链吠晌袖绷域碉
3、搐答焰歌革扁湘舍磺键蹲缘客笼襄挂会捕兴换锗傲六帅陈蔡票嗽歹撩坏滞第十二章 微分方程妊阔似翌担蔽亲纤夏陨疏肢把傣镑走桃亡抛苦梅接荡衷逮趋荚叙萍嘲畸写崩膝羊源椎丈辽阻浦息涧刊挑痉枚垦拉秒流谭衬诈悄拉技儒鹅育遮晋泥丸焉敖詹寇以怔到屏碌圆绒桔剐秧晴推砂拱楷翻札亿银演昌眉卧恫撑彩街鲍性见财至彪很襄慰蚀钨荷瑟哀楚茶下甄峡润寝爱蝴谎柯慑犀惺遗源筑键缓昨摔丈剃瑟乾多邢叔玖总畔云廊肇饯隐置新莱薄勉彦苟克钾腮焕境涤盎靴卧罕趟示急键讹砂恫蓖虹柳塑佰贵舵端纸忙涅息皇瓤队汽撅耗稀纯猫隶成子绣恿双施烁漫寄绿补牧藐戍樊鞘缅振力蒙蚀还栋擞努豹三钻赞偿缠队哦塞稼聘婴序追房超咖次蜒潍贞咨惧卞贴其根脐拐东燕苗争农昆咯复碎喝狮第十二
4、章 微分方程一 基本内容1.微分方程，常微分方程和方程的阶包含自变量、未知函数即未知函数的导数或微分的方程叫微分方程，简记为方程.在微分方程中，若自变量的个数只有一个，则称它为常微分方程.微分方程中所出现的未知数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.方程的解使方程成立的未知函数称为方程的解.在阶微分方程中含有个相互独立的任意常数的解称为方程的通解.在通解中给定了任意常数的值而得到的解叫做方程的特解.3.隐式通解一般地，阶微分方程的通解，可用隐式给出，叫做微分方程的隐式通解.隐式通解中为任意的常数在初始条件，解出的值，可得特解.4.一阶微分方程的类型(1)可分离变量, ；(2)齐次方程， ；(3)一阶
5、线性方程，(4)贝努利方程，；(5)全微分方程，.5.可降阶的高阶微分方程（方程类型）(1)；(2)缺的二阶方程；(3)缺的二阶方程.6.高阶线性微分方程阶线性方程的一般形式为:当时称为齐次线性方程，称为非齐次线性方程.7.二阶常系数方程（类型）(1)齐次为常数；(2)非齐次为常数，.8.阶常系数齐次方程特征方程为:，其中为常数.特征方程的根:(1)单实根；(2)一对单共轭复根；(3)重实根；(4)一对重共轭复根.9.欧拉方程形如的方程称为欧拉方程解法：令即，把看作的函数，则于是欧拉方程化为.按照阶常系数线性微分方程解法解出，则为欧拉方程的解.练习题12.1求下列一阶方程.（1）.解 原方程化
6、为 即 积分得 从而 即 .（2）.解：分离变量得 积分得 即 .（3）.解 等号两边同时除以得 令 则 方程化为 分离变量得 积分得 即原方程化为 .（4）.解 解法一 原式整理为 令 方程化为 通解化为 将代入整理得 .解法二 方程整理得 方程两边同乘积分因子得 即 通解化为 .（5）.解 方程整理为 通解为 .（6）.解 原式化为 分离变量得 积分得 .（7）.解 原式整理得 等号两边除以得 即 通解化为.（8）.解 方程化为 通解为 .（9）.解 原方程化为 通解化为 .（10）.解 令 方程化为即 令方程化为 通解为将 代回 得通解为.（11）.解 方程化为 方程两边除以得 由 知方
7、程化为 通解为 即.（12）.解 令 即 求导得 方程化为 分离变量得 积分得 即 =0 .12.2求下列微分方程在给定初始条件下的特解：（1）.解 原方程化为 令 则 方程化为 分离变量得 积分得 即 将代入通解 解出 ，故所求特解为 .（2）.解 原方程化为 通解为 将代入 解出故所求特解为 .（3）.解 方程化为 即 从而 也就是 同除以得 即 通解为可化为 将代入解出故解为 .（4）.解 方程化为 令 方程化为通解为 即 将代入 解出故所求特解为 .12.3求下列二阶微分方程的通解.（1）.解 令 方程化为 即 通解为将 代回得 故所求通解为 .（2）.解 令 则代入方程得 分离变量得
8、 积分得 解出 方程化为 分离变量得通解为 .（3）.解 令 则方程化为 即 方程两边同除得 即 解得即 分离变量整理得 .（4）.解 令 则方程化为 即 令 则方程化为 分离变量积分得 即解得 .12.4求下列二阶微分方程在给定初始条件下的特解：（1）.解 令 则方程化为 分离变量积分得 即 分离变量将代入 解得即 积分得将代入 解得整理得 .（2）.解 令 则方程化为 分离变量 积分得将代入 解得方程化为 分离变量 积分得将代入 解出特解为 .（3）.解 令 方程化为 即 从而将代入 解得方程化为 积分得将代入 解得特解为 .（4）.解 令 方程化为 分离变量积分得 将代入 解出，即 分离变量积分得将代入 解得特解为 .（5）.解 令 方程化为 分离变量 积分得将代入 解得方程化为 分离变量积分得将代入 解得特解为 .12.5解下列常系数齐次方程：（1）.解 特征方程为 通解为 .（2）.解 特征方程为 通解为 将代入
