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1、第一章第三章一、极限数列极限lim xnn -3函数极限lim fx-3lim f (x)x T+3lim f (x)x T3lim f (x)x- x0求极限(主要方法)：lim f (x)x- x-0lim f (x)x- x+0sin x ,(1) lim= 1,x - 0 xlim(1 + ) x = e,x-3x1lim(1 + x) x = ex - 0(2)等价无穷小替换(P76)。当甲(x) T 0 时，sin9(x)9(x), tan9(x)9(x), arcsin9(x)9(x), arctan9(x)9(x),1 cos9(x)192(x), ln(1+9(x)9(x),
2、 e9 (x) -19 (x), 2a9 (x) -19(x)ln a(a 0), (1+9(x)a a9(x)(a 丰 0)代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。03八八.(3)洛必达法则(；，一，。33-3,00,1 3 30 )，030 3只有03可以直接用罗比达法则。幂指函数求极限：lim u(x)V(x) = elimv(x)ln u(x)；或，令 y = u(x)v(x)，两边取对数 ln y = v(x)ln u(x)，若 lim v(x)ln u(x) = a，则lim u (x)v(x) = ea。结合变上限函数求极限。二、连续 lim f (x) = f (x)x- x0
3、左、右连续lim f (x) = f (x ), lim f (x) = f (x ) 00x-x-x-x+00函数连续。函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点(结合证明题)，介值，推论。三、导数f x ) = lim f (x)- f (x0)= lim f (x0 危x) f (x0)0 x- x x - x、x - 0ax00左导数厂(x。)= lim f (x)一 f (x0)x- x -0=lim f (x0 危x) f (x0)x - x0Ax-0-x右导数厂(x ) = lim 些二也0) = lim f (xo +x) f (xo)+ 0 x- x；x -
4、xo%- 0，京微分 Ay = A-Ax + o (z) dy = Adx = y dx可导以 连续 可导 O 可微 可导 O 既左可导又右可导求导数：(1) 复合函数链式法则y = f u u = g (x) 0，则 j bf (x)dx 0 ；a推论 1.若在a, b上，f (x) g (x)，则b f (x)dx j b g (x)dxaa推论 2. I j bf (x)dx l j bl f (x) I dx ( a b)aa若函数f G)在区间a,b上可积，且m f (x) M，贝m(b - a) j bf (x)dx M (b - a)a(定积分中值定理)设fQ在区间a, b上连续
5、，则存在日屋b，使j bf (x)dx = f Qb - a ).a积分上限函数j xf (t)dt及其性质a(j xf (t)dt) = f G)，或 dj xf (t)dt = f (x)；adtx a如果 e G)= j 怜)f (t)dt，则矿G)= (j耿x)f (t)dt) = f CpDbG). 00如果8(x)= jw(x)f (t)dt,V (x)则(x) = (j f (t)dt) = f (甲(x)甲，(x) f(V (x)扁(x).(1).(2).(3).广义积分(1).无穷限积分j +8 f (x)dx = lim j，f(x)dx =籍金 I发散t -+8 a(极限
6、存在)(极限不存在).m认awm借(*;不在;, st s tj+sf G认收敛的充分必要条件是反常积分f+s f (xdx、f0 f (xdx同时收敛，并s0s且在收敛时，有f+sf (x认=f+s f (x)dx +f0 f (xdx .s0s(2).瑕积分a为瑕点b为瑕点fb f (x)dx =alim fb f (xdx =t Ta+ a收敛发散fb f(x)dx = lim f 人 f(x)dx =籍芝at Tb 一 a发散(极限存在)(极限不存在)(极限存在)(极限不存在)C为瑕点则收敛Of cf (x )dx 与 fb f (x )dx均收敛，并且在收敛时，有aacf bf (x
7、 )dx = f cf (x )dx + fb f (x dxaac二、计算(一) 定积分的计算1、微积分基本公式：设函数f G)在区间a,b上连续，且Ff(x)= f (x)，则f bf (x)dx = F(b)- F (a)，牛顿-莱布尼兹(N-L，公式a2、换元法：设函数f (x)在区间侦、上连续，函数x = 2)满足： 在区间h,0上可导，且中。连续； a =G)，b =中(。)，当 t e 以，P时，x e la,b，则f bf (x )dx = fp f (p (t) !p，(t )dtaa3、4、分部积分法：f buvdx = (uv) |b f bu vdx，或 f budv = (uv) b fb vdu .aa aaa a偶倍奇零：设函数f (x)在区间f a,a上连续，则0f (x)=-f (x)J a f (x)dx = fZ X Z Xa2af (x)dx f (x)= f (x)I 05、f 2 sinn xdx = f 2 cos” xdx =(2k 1)!.在 (2 k)!2(2 k)!I (2
