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1、线性代数提纲1、 Guass消元法行变换一阶梯形矩阵cR/R尹R/RJ主元系数为1的行简化阶梯形矩阵2、解的情况：a) 无解：r(A)Mr(A b)方程数多于未知数个数且含有矛盾方程非齐次b) 唯一解： r(A)=r(A b)=n 方程数等于未知数个数且不含矛盾方程c) 无穷多解： r(A)=r(A b)n 方程数少于未知数个数、含有自由未知数3、矩阵关系：a) 同型：4=吗“ B=bjmxn为同型。特殊的，满足a疔b.f其中i =1,2,m；j = 1,2,n,那么 称 A 与 B 相等，记为 A=B。b) 相抵：设A和B同型。假设A可通过有限次初等变换化为B,即PAQ=BP、Q为初等矩阵，
2、那 么称A相抵于B,记为A泅。c) 相似：存在可逆矩阵P使方阵A通过变换P-iAP=BB为对角矩阵，那么A相似于B,记为AB。d) 合同：存在可逆矩阵P使方阵A通过变换PtAP=BB为对角矩阵，那么A相似于B,记为AaB。4、矩阵的运算：加法、数乘、乘积A的i行各项乘以B的j列各项之和作为乘积的i行j列项，且矩阵乘法不 可交换、转置第i行作为第i列、求逆AB=Z,那么B=A-ih求伴随矩阵A*各项代数余子式再转置5、n阶满秩矩阵=可逆矩阵=一系列初等矩阵的乘积=其齐次线性方程组只有零解=n阶单位矩阵通过一系列初等 变换得到包括行变换和列变换=n阶行列式不等于0。6、秩的关系：r(A+B)r(A
3、)+r(B), r(AB)r(A)+r(B)-n, r(AB) Wminr(A),r(B)。7、特殊矩阵：对称矩阵/反对称矩阵【AZ/AoA】、对角矩阵数量矩阵与单位矩阵【diag(ap幻皿丿】、上 /下三角矩阵、正交矩阵LAt=A-i，即AAt=I8、向量组的关系：线性相关、可否线性表出：存在不全为零的k1,k2,-,kn使k1a1+k2a2+ ko9、根底解系、通解、特解：a) 非其次：将方程组写成矩阵形式；系数矩阵行变换后令一个自由未知数为1,其余为 0,其解向量为根底 解系；增广矩阵令自由未知数全为0其解向量X0为特解；通解=特解+根底解系的线性组合 X0+k1X1+k2X2+ knX
4、nb) 齐次：通解=根底解系的线性组合kiXi+kX2+ knXn10、空间、平凡子空间：线性组合后仍为集合中元素,该集合构成空间； 0及空间本身为平凡子空间；向量组 线性组合构成 V 的子空间为生成子空间。12 、1314、Schmidt正交化：久=际黑护厂腮禺瓷壮/-；单位化=点11、过渡矩阵:flp0力,0n=a，a力,anA虫为基0曲肌到基a”a厂,an的过渡矩阵。过渡矩阵可逆、 唯一；坐标变换公式：y1,y2, ,ynT=A-1 xipx2, ,xnT实方阵的正交分解：可逆矩阵 A 可表示为： A=QR； Q 为 n 阶正交矩阵, R 为 n 阶可逆上三角矩阵。 线性变换：对基 Qp
5、Q为, 的线性变换ff(a.) = alia1 + a2ia2 + + anian； A =(勺)，5iia叫2 aa.In a，a(a )n=勒22 . 严；a aanln2nn有aa1，a2,.，比=比1，比2,.,a 4O对坐标的变换：对 a=xiai+X2a2+ xnan； () =+ 2a2 + + 兔鸣；有刃丿才,nT=AX1,X2,XnTo15、线性变换a在基0誹力，卩n和基叫a倉,an下的矩阵分别为A与B,从A到B的过渡矩阵为P那么B=P-1A。16、 行列式：a）排列：逆序为前者大于后者，以逆序数区分出奇排列和偶排列。b）行列式运算：对角线法那么只适用于2阶和3阶行列式、定义
6、运算所有取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和、上/下三角行列式为主对角元的乘积、行列式的性质【转置不变、交换两行/列反号、行/列公因子提出、两行/列成比例行列式为0、la，1X2尤2按一行/列展开】、Vandermonde行列式:c)i.行列式的应用：解方程组Cramer： a1* a2,.a1，a2, .,afla，+1，.,aii.iii.17、18、1%21y + 5l=la，1x .3%23a X = b，有.D = ,X . = 2。1 D方阵的行列式： 1、方阵乘积的行列式等于方阵行列式的方阵的逆的行列式： |A|-1=|A-1|； 3、上/下三角行列式：矩阵的可逆：方阵可逆的
7、充要条件为A(A*)-1=(A-1)*=円A；AFlnlH0。kAI = AA=加 |A|; A“，yl+la，“，51、Rk+cR.行列式不变、1 *xn%2nXnln|=|A|B|；= A*=|A|*2、方阵行列式的逆等于A、 B 为方阵、。A； A1 =1A* ；伴随矩阵性质:n2 A； kA * = km A*。(n 为阶数）n阶特征值： |相似对角化:将n阶方阵A作变换P-=BA为实对称矩阵时,P为正交矩阵，其中B =diag21,，,人为A的n个特征值;P=X1,X2,Xn，其中XpX2 込 为A特征值右人，,人对应的特征向量。 几何重数务：特征值珀对应的特征向量的个数；代数重数P
8、：久I 仅当=12,，尸）时，A可对角化。A可对角化的充要条件是有n个；iv.119、20、21、a)22、方阵 A 久I A满秩的充要条件为AlH0; A有一个r阶子式不为0,那么r（A）至少为r。=的根；特征向量：久I A X = 的非零解。属于不同特征值的特征向量线性无关。2,=n久加pi，且QiPi。当且线性无关的特征向量。实对称矩阵：实对称矩阵特征值均为实数，存在正交矩阵Q使其对角化Q-1AQ=diagA1,A2,Ario Jordan 标准形：任意方阵均可化为相应的 Jordan 标准形。4 1九Jordan 块： nxn特征值为20,初等因子为（-o）n0b） （*不要求掌握）对
9、求一般矩阵的初等因子那么 需对2-A进行适当的初等变换，使其成为对 角矩阵，对角上的因子为初等因子。二次型与正定矩阵：a）二次型的矩阵表示必为对称矩阵：主对角元上：a,中系数a作为第i行第i列元素；非主对角元上： 2a.xx.中系数a.作为第i行第j列和第j行第i列元素。其中不含x丹交叉项的二次型为二次型的标准形。b）将二次型化为标准形：配方法、初等变换法做一次行变换同时做一次相应的列变换、正交变换法实 对称矩阵的对角化，令X=QY，f（x9x2,xn）=YT（QTAQ）Y，Q为正交矩阵c)将标准形化为标准形：复二次型：儿=乔（E2，r），/灿兀2，xn21Z=+22Z+实二次型：在复二次型根底上，当b0；）i. 正定矩阵A的正惯性指数为n（AI），行列式及全部特征值大于零，存在可逆实矩阵B使A=BtB， 且kA、A-1、Am、A*、CtACm为正整数、C为可逆实矩阵正定；ii. 判断方法:配方法（f xl,x2，,xn = y2 + y2 + + *）、求特征值&0）、求k阶顺序主子式（Akl0）。
