华丽高数上作业答案

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1、第12次作业教学内容：3.1微分*1. 解: .*2. 解:.*3. 解: ， 则.*4. 解: 由, 得 .*5. 解: .*6. 解:.*7.解: ,.*8.解: ， .*9. 解: .*10.设扇形的圆心角，半径，如果保持不变，减少，问扇形面积约改变多少？如果不变，增加，问扇形面积约改变多少？解：扇形面积公式为，（1） 视为变量，则。（2） 视为变量，则.*11.测得一个角大小为，若已知其相对误差为，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？解：设角度为，于是，由微分近似计算，有 （1）； （2）.第13次作业教学内容：3.2微分中值定理*1. ,使.*2. （ ）

2、 *3.设（其中），不用求，说明方程有几个实根，指出它们所在的区间。解：显然，在三个闭区间上连续，且在内可导，又因为有，由罗尔中值定理，至少存在三点，使得. 又是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程在实数范围内最多只有三个根，亦即。它们的所在区间为 .*4.若已知方程有一个正根，证明方程至少有一个小于的正根.证：考虑闭区间，显然函数在上连续，在内可导，且有。所以由罗尔中值定理值必存在一个，使得.*5.设在上连续，在内可导，试证：存在，使.证：令，显然在上连续，在内可导，且。由罗尔中值定理知，存在，使得，即.*6.证明下列不等式：.证：令，显然在上连续,在内可导，故由拉格朗日定理，知必存在一个

3、，使得 由式，显然有 ， 即 ， 亦即 ，证毕.*7.设在上可微，且。试证明：在上恒成立（其中是常数）。证：对任意的，显然在由与构成的闭区间或上满足拉格朗日条件,所以，在与之间必存在一个，使得 , 由已知，及，代入式，即得 ；而当时，于是可得对任意的，都有 .*8. ，其中.，.*9. 若，计算极限.解：依题意，函数在闭区间上必连续，在内必可导，故符合Lagrange中值定理的条件。所以，使 ，其中 ，当时，有 ，.*10.设在上具有1阶连续导数，在内存在，且。又存在常数，使。试证，至少存在一点，使.证：依题意，在及上均满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在，使得。又在上具有一阶连续导数，且在内

4、可导，所以，在上必满足拉格朗日中值定理的条件。所以，存在，使得.*选做题. .第14次作业教学内容: 3.3.1 型 3.3.2 型1. 填空题*（1）若，则. 解：.*（2）. 解：。2. 选择题。*（1）若是待定型，则“”是“”的（ B ） （A）充要条件； (B)充分条件，非必要条件； （C）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.*（2）若是的未定型，且，则 （ B ） （A）； （B）； (C)； (D).*3 求极限 .解：原式= .4 求下列极限:*（1）； *（2）.解：（1）原式 .（2）.*5. .解： .*6. 若已知在连续，且有，求极限.解：.*7.

5、 设具有2阶连续导数，且，试证有1阶连续导数，其中证明：依题意，当时，均连续.故只需证明 即可.由导数定义，有又 .故命题得证.第15次作业教学内容: 3.3.3几点注意 3.3.4 型与型 3.3.5型，型及型1填空题*（1）；解：.*（2），其中a，b，c为正的常数；答案*（3），其中a，b，c为正的常数；答案*（4）若，则答案-22选择题*（1） （ B ） （A）等于； (B)等于； (C)为无穷大；（D）不存在，也不为无穷大.*（2）求极限时，下列各种解法中正确的是 （C）（A）因为不存在，所以原极限不存在；（B）因为，而其中不存在，所以原极限不存在；（C）因为，而是有界量，所以原极

6、限为0； （D）因为时，分子是二阶无穷小，而分母是一阶无穷小，所以原极限为0.3求下列极限。*（1）（为常数，）；解： .*（2）；解：原式.*（3）.解：原式=.4. 求下列极限：*（1） 解：.*（2）解： .*（3）解：.5. 求下列极限：*（1） .解：；*（2）.解：原式 .6. 求下列极限：*（1） ;解：原式.*（2）.解：原式 .7求下列极限：*（1）；解： .*（2）；解：原式.*8. 求极限。解： .*9. ，；解： .*10. ；解：，.第16次作业教学内容: 3.4.1泰勒公式*1. 答:*2. ( ) 答:*3. 求使当 时,有 .解: 设 , 可知给定式子为函数在基

7、点处带皮亚诺余项的三阶泰勒公式, 则根据泰勒公式的系数计算公式有 .*4. (带皮亚诺余项).解: ，.*5. 求函数 的 阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）.解：由 ，知 ， .说明:其中也可以表示为 .*6.求函数在基点处带拉格朗日余项的四阶泰勒公式.解: 其中在3与之间.第17次作业教学内容：3.4.2几个常用函数的泰勒公式 3.4.3泰勒公式的应用1. 利用泰勒公式求下列极限：*（1）.解: .*（2）；解： .*（3）；解：原式 .* (4) .解: 令, 根据 , 可得原式.*2. 设在点连续，求.解： *3. 解: ().第18次作业教学内容：4 .1 .1 函数的单调性 4 .1

8、 .2 函数的极值1 填空题*（1）答：*（2）答：2 选择题*（1） （ ）答：*（2） （ ）*（3）答3求下列函数的单调区间:*（1）解：， ，()0+.*（2）解：，-15 x00.4证明下列不等式*（1）。证明：， ，.*（2）当时，； 解：设， ，当时， 时， .*（3）当时，.解：设， ， 即 .5求下列函数的极值*（1）（注：本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点。）解：，令，得驻点。 及不可导点为。当时， 当时，当时，。 时，取极大值，时，取极小值.*（2）.解：，令， ，或，又，而，极大值，；极小值.*6设在的某邻域内具有阶连续导数，且，而.试证明：当为奇数时，不是极值；

9、当为偶数时，若（或），则是极大值（或极小值）。证：在的某邻域内具有阶连续导数，由阶泰勒公式， ，在与之间.不妨设，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在点的某个邻域，当在该邻域内时总有有. 由于在与之间,可知也必然在该邻域内，所以有. 于是 为奇数时，只要，就有 ， 当时， ， 不是极值点. 当为偶数时，只要，就有 ， 为极小值.第19次作业教学内容：4 .1 .3 最大值与最小值 4 .1 .4 方程根的个数*1。 （ ）*2求函数在指定区间上的最大值和最小值.解：， 临界点为，。考虑，在端点处，。最大值为，最小值为.*3解：由于所给函数与函数有相同的最大值与最小值点，.*4设 , 在心形线 的第一象限部分上找一点, 使的面积最大.解：由于线段为一个确定的值, 所以本问题本质上是求点纵坐标 的最大值. ,令, 可得上的唯一驻点 , 根据实际意义可知, 所求之点就是对应于 的点 . *5欲造一个有上、下底的圆柱形铁桶，容积为定值