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1、专题突破(八)代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等20112015年北京代数综合题考点对比年份20112012201320142015考点根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利
2、用图象求取值范围求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围12015北京 在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线yx1交于点A，点A关于直线x1的对称点为B，抛物线C1：yx2bxc经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：yax2(a0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围22014北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点
3、，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围32013北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2(m0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；(3)若该抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的函数解析式42012北京 已知二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A(
4、3，m)，求m和k的值；(3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线ykx6向上平移n个单位长度请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围图Z8152011北京 在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx2x3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当ABC45时，求m的值；(3)已知一次函数ykxb，点P是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点
5、M，交二次函数ymx2x3的图象于点N.若只有当2n0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围图Z8322015朝阳一模 如图Z84，将抛物线M1：yax24x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线yx与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是3.(1)求a的值及M2的函数解析式(2)点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.当点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围(直接写出结
6、果)图Z8432015西城一模 已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1，0)，(0，3)两点(1)求C1对应的函数解析式；(2)将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2对应的函数解析式记为y2x2mxn，求C2对应的函数解析式；(3)设y32x3，在(2)的条件下，如果在2xa内存在某一个x的值，使得y2y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围图Z8542015东城一模 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx1过点A，B，与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx1的函数解析式(2)若点D在抛物线yax2bx1的对称轴上，当ACD的周长最小时，
7、求点D的坐标(3)在抛物线yax2bx1的对称轴上是否存在点P，使ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图Z8652015石景山一模 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx3(m0)与x轴交于A(3，0)，B两点(1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标；(2)将2x0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当SABC15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：ykxb(k0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象请结合图象回答
8、：若新函数的最小值大于8，求k的取值范围图Z8892015平谷一模 已知抛物线yax2xc(a0)经过A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且EAOEPO，当tan2时，求点P的坐标图Z89102015怀柔一模 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y(a1)x22x1的图象与x轴有交点，a为正整数(1)求a的值；(2)将二次函数y(a1)x22x1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m21)
9、个单位长度，当2x1时，二次函数有最小值3，求实数m的值图Z810参考答案北京真题体验1.解：(1)当y2时，2x1，x3.A(3，2)点A，B关于直线x1对称，B(1，2)(2)把(3，2)，(1，2)代入yx2bxc，得解得抛物线C1的解析式为yx22x1，顶点坐标为(1，2)(3)如图，当C2过点A，点B时为临界状态，将A(3，2)代入yax2，则9a2，a，将B(1，2)代入yax2，则a2，a2.2解：(1)y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)，解得抛物线的函数解析式为y2x24x2.对称轴为直线x1.(2)由题意可知C(3，4)二次函数y2x24x2的最小值为4.如图，由
10、图象可以看出点D纵坐标的最小值即为4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标由B(3，4)，C(3，4)可知直线BC的函数解析式为yx.当x1时，y.4t.3解：(1)当x0时，y2，A(0，2)，抛物线的对称轴为直线x1，B(1，0)(2)易得点A关于对称轴直线x1的对称点为A(2，2)，点B关于对称轴对称的点仍为点B，直线l经过点A，B.设直线l的函数解析式为ykxb(k0)则解得故直线l的函数解析式为y2x2.(3)抛物线的对称轴为直线x1，抛物线在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称如图，结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，在1x0这一段位于直线l的下方，抛物线与直线l的交点的横坐标为1.当x1时，y2(1)24，抛物线与直线l的一个交点为(1，4)当x1时，m2m24，解得m2，抛物线的函数解析式为y2x24x2.4解：(1)二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等，004(t1)4(t2)，解得t，二次函数的解析式是yx2x.(2)把A(3，m)代入yx2x得m(3)236，即A(3，6)将A(3，6)代入ykx6，得63k6，解得k
