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1、竞赛讲座25绝对值与二次根式1绝对值例1(1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中Ovpv15对于满足px1的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=3O-x.当px0，|b|0.|b|-1=0，a|b|1.同理可证|a|1.a、b都不在-1与1之间.例3设a、b是实数，证明|a|-b|a+b|a|+|b|.证明当|a|-|b|w时，|a|-|b|0时，由于(|a|-|b|)2-|a+b|2=(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab)=-2(|ab|-ab)w0， |a|-|b|w|a+b|.同
2、理可证|a+b|w|a|+|b|.2根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：(1) 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.例4(1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.解=4-=2+(2-),故x=2,y=2-, x+y+=4-+2+=6.例5化简解原式=|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当xv-3时原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；当-32时，原式
3、=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.例6化简（a0）.解原式=/a0.a22b2,二原式=例7求证：证明：二原式=4.（2）乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例8已知求证:（x+y+z）3=27xyz.证明:T两边立方x+y+即再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.例9已知求证证明设则即同理可设则二A+B二由A+B=a，得（2）比较系数法例10求满足条件的自然数a、x、y.解将等式两边平方得x、y、a都是自然数.二只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾x+y=a,xy=
4、6.由条件可知xy且x、y是自然数.当x=6时，y=1，得a=7.当x=3时，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11化简分析被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.解设两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数,得由有，代入，得代入，得y2=52,.y=5（x、y、z非负），=1，二原式=1+（4）设参法例12（1986年数理化接力赛题）设（al，a2，an,bl，b2,，bn都是正数）.求证:证明设且a1=b1k,a2=b2k,，an=bnk.左边=右边=左边二右边（5）公式法、代数变换及其他例13已知x=求x3
5、+12x的值.解由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得=8-3=8-12x./x3+12x=8.例14设求x4+y4+(x+y)4.解由条件知/x+y=5,xy=1.原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=(x+y)2-2xy2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例15(1978年罗马尼亚竞赛题)对于aR,确定的所有可能的值.解记y=.先假定a0这时y0把两边平方得即再平方，整理后得从而0.由知y2v2a2+2-2=2.再由知y20,故可由逆推出和，因而在a0时，的值域为(0,1).同样在av0时，的值域为(-1，0)，综上的值域是(-1，1
6、).练习十七1选择题(1) 若实数x满足方程|1-x|=1+|x|,那么等于().(A)x-1(B)1-x(C)(x-1)(D)1(E)-1(2) 方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为().(A)-6(B)3(C)-3(D)6(E)-18(3) 已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值().(A)不存在(B)有一组(C)有二组(D)多于二组2空题(1) 已知|x-8y|+(4y-1)2+则x+y+z二.(2) 若abc0,l1=乘积中最小的一个是.(3) 已知0vxv1,化简已知则(5)(北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数，且f(x)=|x+1|+|x+2|+|
7、x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于.3. 化简(a0).4. 已知abv0,a2+b2二a2b2,化简5. 如果x0,y0，且试求的值.6(第8届美国教学邀请赛试题)求的值.7. 求适合下列各式的x、y；(1)若x、y为有理数，且(2)若x、y为整数，8. 已知求证a2+b2=1.9. 已知A=求证11A3-B3v12vA3+B32a2时，y=4.VabOb，原式=ab;若a0b，原式=ab.5 .原式=2.6 .原式=828.7.(1)(2)x=22，y=2;x=22，y=2.8.由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,1-(a2+b2)2=0,二a2+b2=1.9.vA2+B2=6,AB=2,/(A+B)2=1,A+B=,A-B=,二A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=8.当b0时，原式值为b，当0b1时，原式值为
