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1、学法点拔（9）（9）直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.分析 易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B是线段AC的中
2、点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A的坐标.分析 因为A，A关于直线对称，所以直线l是线段AA的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l与直线AA垂直，并且平分线段AA，设A的坐标为（x，y
3、），则AA的中点B的坐标为由题意可知，解得. 故所求点A的坐标为三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直
4、线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方
5、程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交. 对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1
6、，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，由到角公式得，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A
7、，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B，最后由A，B两点写出直线l的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.（4）一般地直
8、（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.高考题中的利用导数求参数范围一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使成立，只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立，只需使函数的最大值恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1（05湖北理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值
9、范围. 解析：由向量的数量积定义，=()+()=+=+.若在区间(-1,1)上是增函数，则有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范围是5，）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例2使不等式-对任意的实数都成立，求实数的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于.又=-=4()，令=0，解得，=0或=1. 的符号及的单调性如下：(-,0)0(0,1)1(1,+)-0-0+无极值极小值因为
10、在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即= -1，= -1，即3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例3（05天津理）若函数=(0,1)在区间(-,0)内单调递增，则的取值范围是（ ）A,1) B.1) C(,+) D(1, ) 解析：是复合函数，须按01两种情况考虑. 令=，在(-,0)上为增函数， 若01，则在(-,0)上为减函数，即=3在(-,0)上恒成立, 3=,此时，1； 若1，则在(-,0)上为增函数，须使=0在(-,0)上恒成立，即3在(-,0)上恒成立, 即0，不合题意.综上，.1).点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕
11、北辙.例4（04辽宁）已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意,不等式成立，求实数m的取值范围. 解析：(1) 解略. =，=；得=；(2) 解此绝对值不等式得+-把（1）代入上式，得-+-若把此不等式左右两边设为两个新函数，即令=-+，=+-则原不等式对于任意恒成立，意即成立，只需满足即可.=，=，注意到0，即10 , 0 , 故、均为增函数，在上，=，=，故原不等式成立，当且仅当，即.点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。二 与极值点的个数有关求解策略：
12、按方程=0的根的个数分情况谈论。例5（04湖北文）已知,函数= 的图象与函数=的图象相切，()求与的关系式（用表示）；()设函数=在(-,+)内有极值点，求的取值范围. 解析：() 与的图象相切，切线的斜率相等，即=即，故，切点的纵坐标为=，解得，又,，即.() =，=，令=0，即=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)= 若=0，=0有一个实根，则=，的变化如下： （-，）（，+）+0+故=不是的极值点； 若0，=0有两个不同的实根、，不妨设，则=，的变化如下：（-，）（，）（，+）+0-0+故、分别为函数的极大值点和极小值点.综合，当0，=0在(-,+)内有极
13、值点.由=0，即，又由() ，得，解得， 或.故的取值范围是（0，）（，+）.点评：解决要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.三 与集合之间的关系相联系例6（05湖南文）设0，点是函数与=的图象的一个公共点.两函数的图象在点处有相同的切线，()用表示，；()若函数=在(-1,3)上单调递减，求的取值范围.解析：() 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。把点代入两函数解析式，有，又0，故，又在点处切线相同，故，即，将代入，得=，从而，=，即.() 由()，=，=，=，函数=单调递减，即0，由=0，当0时，；0时，.故函数的单调区间，当0时，为
14、；当0时，为.故要使函数在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) 或(-1,3) ，即或，解得，3或-9.故的范围是(-，-93，+）.点评：题看题意似与例1相似，其实不然。本题的表达式中含、和，不能把全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，从而得出结果。04年高考浙江文就已经考过了此类题.四、已知函数单调性，求参数的取值范围类型1参数放在函数表达式上例 设函数略解：（）由（）方法：方法：方法解题方法总结：求后，若能因式分解则先因式分解，讨论=0两根的大小判断函数的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.基础训练：类型2参数放在区间边界上例已知函数过原点和点(-1,2),若曲线在点P处的切线与直线且切线的倾斜角为钝角.(1) 求的表达式(2) 若在区间2m-1,m+1上递增,求m的取值范围.略解 (1)总结:先判断函数的单调性,再保证
