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1、 2.圆锥曲线1.(20xx福建厦门第一中学期中)已知椭圆C1：1(ab0)右焦点F是抛物线C2：y24x的焦点，M是C1与C2在第一象限内的交点，且.(1)求C1的方程；(2)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x7y10上，求直线AC的方程.解(1)设M(x1，y1)(x10，y10)，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意知点F2即为点F(1，0).由抛物线的定义，|MF2|x11x1，因为y4x1，所以y1，即M，所以|MF1|，由椭圆的定义得2a|MF1|MF2|4a2，所以b，所以椭圆C1的方程为1.(2)因为直线BD的方程为7x7y10，四边形ABCD为
2、菱形，所以ACBD，设直线AC的方程为yxm，代入椭圆C1的方程，得7x28mx4m2120，由题意知，64m228(4m212)0m.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，y1y22m(x1x2)2m，所以AC中点的坐标为，由四边形ABCD为菱形可知，点在直线BD上，所以7710m1.所以直线AC的方程为yx1，即xy10.2.(20xx湖南师大附中月考)已知椭圆C的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆E：(x1)2y21的圆心.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M，N.试推断是否存在点P，使|MN|？若存在，求出
3、点P的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆方程为1(ab0)，半焦距为c，因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，所以c1，因为椭圆的离心率为，则，即ac，从而b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)设点P(x0，y0)(x00)，M(0，m)，N(0，n)，则直线PM的方程为yxm，即(y0m)xx0ymx00.因为圆心E(1，0)到直线PM的距离为1，即1，即(y0m)2x(y0m)22x0m(y0m)xm2，即(x02)m22y0mx00，同理可得，(x02)n22y0nx00.由此可知，m，n为方程(x02)x22y0xx00的两个实根，所以mn，mn，|MN|mn|.因为点P(x0
4、，y0)在椭圆C上，则y1，即y1，则|MN|，令，则(x02)29，因为x00，则x01，y1，即y0，故存在点P满足题设条件.3.(20xx河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P是椭圆C上任意一点，点P到直线l1：x2的距离为d1，到点F(1，0)的距离为d2，且，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且OFAOFB180.(1)求椭圆C的方程；(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设P(x，y)，则d1|x2|，d2，化简得，
5、y21，椭圆C的方程为y21.(2)A(0，1)，F(1，0)，kAF1，又OFAOFB180，kBF1，直线BF的方程为y(x1)x1，代入y21，解得(舍)，B，kAB，直线AB的方程为yx1，即直线l的方程为x2y20.(3)方法一OFAOFB180，kAFkBF0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为ykxb，将直线AB的方程ykxb代入y21，得x22kbxb210.x1x2，x1x2，kAFkBF0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2b2k(kb)2b0，b2k0，直线AB的方程为yk(x2)，直线l总经过定点M(2，0)
6、，方法二由于OFAOFB180，点B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，y2)，直线AF方程为yk(x1).代入y21，得x22k2xk210.x1x2，x1x2，kAB，直线AB的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1.又y1k(x11)，y2k(x21)，x2.直线l总经过定点M(2，0).4.(20xx广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.(1)若3，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.解(1)依题意可设直
7、线AB：xmy1，将直线AB与抛物线联立y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得3，y13y2，m2，直线AB的斜率为或.(2)S四边形OACB2SAOB24，当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.5.(20xx惠州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆
8、C上，所以2a2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0且3t3.由，得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.(也可由知四边形PMQN为平行四边形而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0，可得y4.)又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围1，1矛盾.因此点Q不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q点.6
9、.(20xx河南开封月考)如图，已知圆E：(x)2y216，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹的方程；(2)已知A，B，C是轨迹的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|CB|，问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由.解(1)Q在线段PF的垂直平分线上，|QP|QF|，得|QE|QF|QE|QP|PE|4，又|EF|24，Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，：y21.(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为ykx(k0)，|CA|CB|，C在AB的垂直平分线上，直线OC的方程为yx.(14k2)x24，|AB|2|OA|24，同理可得|OC|2，SABC|AB|OC|4，当且仅当k1时取等号，SABC.综上，当直线AB的方程为yx时，ABC的面积有最小值.
