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1、几种常用的插值方法数学系信息与计算科学1班李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用，在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值，插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法，并简单分析了其各自的优缺点。关键词：任意阶多项式插值，分段多项式插值。引言:所谓才S值，通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值，而插信函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要 用两种：一种是任意阶的插值多项式，它主要有三种基本的插值公式：单项式，拉 格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值，它有Her
2、mite和spine插值和分段 线性插值。一.任意阶多项式插值：1 .用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式，即 Pn-1(X)=A+A2X+AnXn-1,它是一个单项式基本函数 XXL-Xn-1的集合来定义多项式 由已知n个点(X,Y构成的集合，可以使多项式通过没数据点，并为n个未知系数 Ai写出n个方程，这n个方程组成的方程组的系数矩阵为 Vandermonde矩阵。虽然这个过程直观易懂，但它都不是建立插值多项式最好的办法 ，因为 Vandermonde方程组有可能是病态的，这样会导致单项式系数不确定。另外，单项 式中的各项可能在大小上有很
3、大的差异，这就导致了多项式计算中的舍入误差。2 .拉格朗日基本插值公式进行插值：先构造一组插值函数Li(x) = (xx0)L (xxi1)(xx 1)L (xxn),其中 i=0,(xXo)L (XiXi i)(XXi i)L (XiXn)n.容易看出n次多项式Li (x)满足Li (x) =1, (i=j); Li (x) =0, (iwj),其中i=0, 1- n,令L (x) = yJi(x)这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本函数 i 0插值多项式相比，拉格朗日插值有2个重要优点：首先，建立插值多项式不需要求 解方程组；其次，它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构紧凑
4、在理论分析中很方便，但是，当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插信函数 均要随之变化，从而整个插值公式的结构也将发生变化，这在实际计算是非常不利 的。3 .使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值:首先，定义均差,f在xi,xj上的一阶均差fXi,Xjf(Xj)f(Xi),其中(iWj)0f在Xi,Xj X为，Xk的二阶均差 fxi,为，Xk= ,Xj一Xj，Xk , k 阶均Xj XkfxL Xk 1fXiL XkfXi Xk=oXo Xk由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f刈+fx0-xi(x-xo)+fxo ,L Xn(X-X0)(x-xn-1)。实际计算中经常利用下表给出的
5、均差表直接构造牛顿插值公式XkF(x)一阶均差二阶均差三阶均差X0F(X0)X1F(xi)Fx0, xiFX0, X1 , X2X2F(X2)Fxi , X2FX0, Xi , X2, X3Fxi , X2, X3X3F(X3)FX2, X3 凡是拉格朗日插值解决的问题牛顿插值多项式都可以解决，不仅如此，更重要的是 结点时，它不必重新计算，只要在后面再计算一项均插即可，减少了计算量，不用计 算全部系数，节约了大量人力，物力，财力。牛顿均值克服了拉格朗日插值多项式的缺点,当需要提高近似值的精确度而增加增加插值多项式的阶数并不一定能增加插值的精度，据定义，插值式，F(x)可以与结点(xi, yi)
6、, i=1,，n处的实际函数匹配，但却不能保证支点之间求F(x)还能很好的逼近产生(xi, yi)数据的实际函数F(x)。快J如，如果F(x历一个已知的解析函 数，而且定义F(x)的节点集合中数据点的数目可以增加(多项式F(x：的阶数也增加)， 但是，由于F(x)的起伏增加，那么插值式就可能在节点见振带，基于当实际函数F(x) 平滑时，这种多项式摆动也可能发生，这种振荡不是由多项式摆动引起的，而是由 多项式的项相加来求插值多项式时发生舍入误差造成的。有时多项式摆动可通过 谨慎选择基础函数的取样来成为，但如果数据是由不容易重复实验取得的，就不能 这么做了，这会司会用下面介绍分段插值法。二、分段插
7、值多项式1、分段线性插值：分段线性插值最简单的插值方案，只要将每个相邻的节点用直线接起来，如此形 成的一条新的折线就是分段线性插值函数，记作In(xj)=y而且In(x)在每个区间xj xj+i上是线性函数(j=0,1-n-1)nx xIn(X)可以JE义为 In(xj)=yJi(x)其中 l0(x=，x x0,x1i 0xo xi其他，lo(x)=0x xj 1x xj 1lj(x)=， x xj 1, xj ； ln(x) = ,x xj,xj1；其他，h(x)=0xj xj 1xj xj 1ln(x)= xn-i ,x xn 1, xn；其他，ln(x)=0 xn xn 1In(x j)
8、具有很好的收敛性，即对于x a,b有：当n趋向于无穷大时，In(x)=g(x诚 立。用In(x)计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n无关， 但n越大分段越多插值误差就越小，但是，该方法折线在节点处显然不光滑，即In(X)在节点处导数不存在着影响它在需要光滑插值曲线的(如机械插值等领域中的应用)。2分段三次Hermite插值为清楚起见，先用三次Hermite插值的构造方法加以解释，三次Hermite插值的做法是，在xk xk+i上寻找一个次数不超过3的多项式H3(x)它满足插值条件H3(Xk)=f(Xk),H3(Xk+1)=f(Xk+1)H 3函)=mk, H 3(Xk
9、i) =mk+i相应的插值基函数为k(x)2 x xkxk 1xkx xk 1xkxk 1k l(x)21 2 x xk 1 xxkxkxk 1xk 1xkk(x)(x2 x xk 1xk)xkxk 1k 1(x)/、 x xk(x xk 1)xk 1 xk于是有 H3(x)=a k (x) f(xk) +a k+1 (x) f(xk+1)+ mk 0 k(x) + mk+1 0 k+1 (x)o如果函数甲满足条件：(1) W C1a,b(2) 满足插值条件：W ( xk) =f(xk),(xk) f (xk) ,k=0,1,2，,n.(3)在每个小区间xk-1, x,k=1,2,n上年是三次
10、多项式。则称甲为f的分段三次Hermite插值多项式。根据分段线性插值和三次 Hermite插值公式可得到甲的表达式n、一，、 _ _ 甲(x)= f (xk) k(x) f (xk) k(x)其中0(x)12XiX0X X1XoXi,x Xo,Xik(X)n(X)o(x)k(X)0,X Xo,Xi2X XkX Xk 1i 2 ,x Xk i,XkXk 1 XkXk Xk i2/ c X XkX Xk irri 2k ,x Xk,XkiXk i XkXk Xk i0,x Xk i,Xk i2, c X XkX Xk ir 、i 2,X Xm,XnXk i XkXk Xk i0,X Xn i,X
11、n2X(x Xo) ,x %”% xi0,X Xo,Xi(X(XXk) X XkiXk Xk i,XXk,Xk iX xk iXk)Xk Xk i2,XXk,Xk i0,X Xki, Xkin(x)(X0,X、x XniXn)Xn Xn iXn i,Xn,XXn,Xn ik=0,i,2，,n,称为以节点xo, xi, , xn的分段三次Hermite插值基函数，对于给定 n个插值点XiX2- Xn和其相应函数值f(Xk)和一阶函数值 f(xk),k=0,i,2，,n.显然，分段三次Hermite插值可以产生平滑变化的插值式，但它有一个明显的缺点 就是在每个界点处的函数斜率必须已知，而从实验中获
12、得的数据，这个斜率就不存 在。下面要介绍的三次样条插值可以解决这个问题 ，同时能得到插值式所期望的光滑度3、三次样条插值1 .样条函数在a,b上取n+1个插值结点2=刈刈-刈也已知函数f(x)在这n+1个点的函数值为yk=f(xk)则在a,b上函数y=f(x)的m次样条插值函数S(x消足：(1)S(x而(a,b)上直到m-1阶导数连续；(2)S(*)=yk,(k=0 1- - n);(3)在区间xk,xk+i(k=0 1 n-1)上,S(x) m 次多项式。2 .三次样条函数在a,b上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)l足：(1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续，即：s(xk-0)=
13、S(xk+0), s (xk-0)=s (xk+0) (k=0 1 n-1)(2)S(xk)=yk (k=0, 1,n);在区间xk xk+1(k=0, 1- n-1) S(x双三次多项式。3 .三次样条函数的计算由二阶导数连续，设s(xk )=mk,(k=0,1，,n),mk是未知待定的数。因S(x)ll分段三次多项式，则在每个区间xk xk+1内,S(x)是分段一次多项式，记hk=xk+1-xk则：s(xk)=xk 1 xx xkxk 1 xk mk mk 1 - mkx xkmk 1 hk将上式在区间xk xk+1上积分两次，并且由S(xO=yk S(x+)=yk+1,来确定两个积分常x
14、k 1 xkxk 1 xkhk数。当 x C xk xk+1时,八(x xk 1)s(x) mk6hk(x xk)6hk3-mk 1 (ykh2k 、Tmk)x xk 1hk(yk 1xxkhk利用S(x厂阶导数连续的性质，对上式求导得:)s(x)(xmk (m-2hkhk1 ,、(mk 1 mk)(yk 1 yk)6hk在上式中，令x=xk得:s(Xk 0)hkmkihkmk”Ik63hk将上式中的k换成k-1,得:s(x心xk-i,xk上的表达式，将x=xk代入,s(Xk 0)hkm hkm 小. 6mki 3mk hk而S(xk+0)=S(xk-0)联立上述两式，得到关于m的方程:hk imk i6 k ihkhk imk3 khkmk i6 k iyk i ykyk yk ihk i两边乘以6
