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1、第二章第三节分离变量法2.3拉普拉斯方程的解分离变量法分法的迺用条件二、包普扭斯方程的解在坐标莱中的形式三、解题步線0000970* 上页 TK 進应一、拉普拉斯方程的适用条件1、空间0 = (),自由电荷只分布在某些介质 体)表面上，将这些表面视为区域边界， 拉普拉斯方程。则要求2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布， 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即0 =cp()为已知自由电荷产生的电势，9不满足 2cp = O，0为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程2“，=()但注意，边值关系还要用
2、不能用“仁mm二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式y,z) = X(x)y(y)Z(z)令Y =瓦；+ 氏；=k。0 a cpH=()1、直角坐标 5 =dx(pSv 2 比 2(1) 令/xcbc1dY厂 + = 0dydZ+ 逐=oS+N(z) = E sin kz + F cos kz.dh(2) 若 cp =(p(x9 y)(dxr + XV = O(2)oc = k,= k a+0 = ()Xx) = Aekx +BekKY(y) = C sin ky + D cos ky两种情况中若考虑了某些边界条件，匕裁2伙将与某些正整数有关，它们可取1, 2, 3,，只有对它们取和后才得到通
3、解。(3)若0 = 0(兀)，与y.z无关。讨论 = 0 dx1令/g(&),2、门 + v g(&) = 0 dO21 ddfv2(r)/(r) = O/ dr drr(P =(p(r.O)I 6, r2 d()2 dz2sO)=厂(厂)rg(0) = ax sin v6 + a2 cos vO八厂)有两个线性无关解厂：r单值性要求*() = (2疋)，只能取整数，令V = 77卩(厂,0)=艺厂GA snnO + B co? )i- r C” sin?/94- D co&O71=1若爭=*(厂)，丄旦(4)= or Dr Ord(pr= C = cp = A 13 n rdr3.球坐标)C
4、 (cos O) costmp： go、缔合勒让德函数(连带勒让德函数若“不依赖于0，即具有轴对称性，通解为(/?,&) = 2(aF +(cos&)nRcos 6/ IPy (cos3)二(3cos 0 匕(COS Eor cos 0 =（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。（2）内部边值关系：介质分界面上四.应用举例1、两无限大平行导体板，相距为/一般讨论分 界面无自由 电荷的情况两板间电寺电势和9 = V （常数），可考虑与乂，无关。差为V （与七”乙无关），一板接地，求两板间的解：（1）边界为平面，故 应选直角坐标系 下板讷，=0设为参考点 （2）定性分析：因在乙=1(3) 列出方
5、程并给出解：2?_Kd 9S=o n=時=o方程的解：0 = Az + B (0zl)(4) 定常数： 炉(乙= () = ()8 = ()VpZ = /) = V Al = V A =I亠V(5) 电场为均匀场 电势：申=(0 z /)E = (p =e =e E =吊dz z I zI Q O C & &Z H* 上页 下質 适叨 *.2对接地半无限大平板，相距为b,左端有一极 板电势为V （常数），求两平行板之间的电势。解：（1）边界为平面， 选直角坐标系；上、下两 平板接地，取为参考点； 且当y , b, |十= （2）z轴平行于平板，且x = O, 0 y , cp = V 与乙无关
6、,可设e = 0（x,y） S =0（0 x oo, 0 y b）dx dy o o o o e机幼 H * 上页 T K 适叨 *.d2 cp d2 cp机动 H* 上更 TK 追叨 *.Jx(Q = Ae心+尿_心(p= X(jc)y(y) |y(y) = C sin ky + Z) cos Ary(x, y) =+ Be )(C sin ky + Z)cos ky)(3) 确定常数A, B, C, D, k y = 0, * = 0 = 0 = 0 y =b,cp = O = sin kb = 0S = l,26)T17L. 一kb = n7r k = b(zi = 1,2,3)y) =
7、(4冷以 + B/)(C： sin ky)co通解y)=牙 s” (x, y)n= x 80 = 0 = An = 0n7T 一唱 X(Pn g y) = cn sinye z?coH7V匸厂 5X9= , O” sinw归bs 乂 = () cp = V V = 12 C sin 两边同乘sin 江并从0 -；积分：h严 .m7vy 严乙厂n7ry I V sindy =1 C sinsinJo b Jo 幺 b、 Jrri7r y艺 qjin =oBQ = CQn7vybchtruryn7vyI sin sin dy =Jo b btn7V y-dybri7V ysindyb n H mb
8、/2b 、=s2 mno ooo严 .mjryI V sin J（）b2=I V sin b J。二 bdy= C Z?/2/ 丄 nmnm”=1 ztn 7ry2Vh兀-6/ybh m7rI sin y9dy9Jo2Vrcos，：；m7rS =奇数）（加=偶数）4V 二y）=2L兀必=1.3.51 sin m b令力=2az + 1 n = 0丄2,机动 H* 上更 TK 追叨 *.机动 H* 上更 TK 追叨 *.4V 0（忑 y） = 2兀m=01 sin 2n +1+ 1）化一（2”+S b（0xoo） k0y (r) = 0r dr drr肌C dr匚dcp = dryrpr) =
9、C In r 4- Z) 当 r = a 时，(p(a) - 0 Q = -Clna(/) = C lna4-Cln/- = Cln adcp b = y anCa 1=_$o口r an c=-clctr0(厂)=_In&()a厂在导体面上、二b 一E(a) = erH* 上页 下覧Y厂CD ”兀 加兀 y,z)= / C sin xs in vs inh. /f ”补充题1长方形盒的长为力、宽 为B、高为C,上盖电位为0),其 余接地，求盒内的电位分布。补充题2无穷长导体圆筒，半径为 a,厚度可以忽略不计。圆筒分成相 等的两个半片，相互绝缘。其中的 半的电位为匕，另一半电位 为-匕，求圆筒内
10、的电位分布。4V兀co=16观I j”r rVnI2 /2(2num sinhJ+兀cVI-B22sin(2k + 14. 一半径为a,介电常数为&的无 限长电介质圆柱，柱轴沿乙方 向，& 方向上有一外加均匀电 场&：,求空间电势 上的束缚电荷分布。o o o 目录 上页 T K 進凹 ti Aa r sin nO + D： cos nO)71=1（3）确定常数 因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑0、g也 相对x轴对称 50）为偶函数），所以0、炉2中不应包 含sinM 项，故：AaAi2C（A（2y 均为零。n 7 n 7 n 7 n r = 0二常数（或零），有限，故中不应有厂一”T Eor cos 3 (均匀场电势)(2)-厂B2 =0n项= D：三 O。厂一 8 炉2 “-0-因此02中不含厂项5工1）,得B, =_E*S0 =工厂cosh6271-102 =-E“cos&+Qn=l2)r z，cosnO a r co O O O GZ 日录上更Z a*.上更 TK
