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1、24.2抛物线的简单几何性质一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴探照灯就是利用这个原理设计的问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有1 抛物线的简单几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py
2、(p0)x22py(p0)图形性质焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下2焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦|AB|AB|x1x2p|AB|p
3、x1x2|AB|y1y2p|AB|py1y21抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线2抛物线只有一条对称轴，没有对称中心3抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同4抛物线的离心率e1(定值)5抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离由方程y22px(p0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大6抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支第一课时抛物线的简单几何性质求抛物线的标准方程及其几何性质例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方
4、程及抛物线的准线方程思路点拨解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可精解详析椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.一点通用待定系数法求抛物线方程的步骤：1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23yBy26xCx212y Dx26y解析：依题意知抛物线方程为x22py(p0)的形式，又3，p6,2p12，故方程为x212y.答案：C2平面直角坐标
5、系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_解析：线段OA的垂直平分线为4x2y50，与x轴的交点为(，0)，抛物线的焦点为(，0)，其标准方程是y25x.答案：y25x抛物线几何性质的应用例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长思路点拨先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长精解详析如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得
6、(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.|AB|2y14p.一点通抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质3若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为()A2 B3C4 D4解析：双曲线的方程可化为1，双曲线的左焦点为( ，0)又抛物线的准线为x，所以由题意
7、得 ，解得p4.答案：C4等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程解：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称由题意得A(2,2)在抛物线y22px上，p1，抛物线的方程为y22x.与焦点弦有关的问题例3已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程思路点拨由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可精解详析过焦点的弦长为36，弦所在的直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，
8、y1)，B(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为F(1,0)，直线的方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236，k.所求直线方程为y(x1)或y(x1)一点通解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算5已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A. B.C. D25解析：抛物线的焦点坐标
9、为(2,0)，直线l的方程为y(x2)由得B点的坐标为(，2)|AB|AF|BF|282.AB的中点到准线的距离为.答案：A6抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程解：当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y22px(p0)，如图直线的方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|x1x2，即x1x28.由消去y得x23px0.x1x23p.将其代入得p2.所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上所述
10、，抛物线的方程为y24x或y24x.1抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个2涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离1(2011陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28x Dy24x解析：显然由准线方程x2，可知抛物线焦点在x轴正半轴上，同时得p4，所以标准方程为y22px8x.答案：C2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P
11、在线段OF的垂直平分线上而F(，0)，所以P点的横坐标为.代入抛物线方程得y，故点P的坐标为(，)答案：B3线段AB是抛物线的焦点弦，F为抛物线焦点若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1等于()A45B60C90D120解析：法一：设抛物线方程为y22px(p0)，AB的方程为xmy.消去x得y22myp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2.又A1(，y1)，B1(，y2)，F(，0)，(p，y1)，(p，y2)，则p2y1y20，即A1FB190.法二：如图所示，|AA1|AF|，|BB1|BF|，12，56.又AA1BB1x轴，13，64，23，45，
12、23452(34)180，3490，即A1FB190.答案：C4(2011山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义，|FM|y02.由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C5设点A是抛物线y24x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点若|AB|3，则M到直线x1的距离为_解析：由题意知点B即为抛物线的焦点，直线x1即为抛物线的准线，如图|AB|3，|AA|3.又|BB|2，MM即为梯形BBAA的中位线，|MM|(|AA|BB|).答案：6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.答案：7直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p
