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1、2014年福建高考数学试题（理）第卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数等于（ ） 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱3.等差数列的前项和，若，则( ) 4.若函数的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ） 6.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件7. 已知函数则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函
2、数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为8. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B . C. D. 9. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.10. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和篮球都取出来。.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.第II卷（非选择
3、题 共100分）二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11、 若变量满足约束条件则的最小值为_12、在中， ,则的面积等于_13、要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）14. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为_.15. 若集合且下列四个关系：；有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_.三 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分13分
4、）已知函数.（1） 若，且，求的值；（2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形中，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1） 求证：ABCD；（2） 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分13分） 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算
5、是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分） 已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。20. （本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的
6、切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换 已知矩阵的逆矩阵. （I）求矩阵； （II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. （2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为参数）. （I）求
7、直线和圆的普通方程； （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围. （3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲 已知定义在R上的函数的最小值为. （I）求的值； （II）若为正实数，且，求证：.2014年福建高考数学试题（理）答案一.选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，共50分.1-10 CACBBADBDA二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分。11. 1 12. 13. 160 14. 15. 6三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数
8、及三角函数的 图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分13分.解法一：(1)因为所以.所以 (2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.解法二：（1）因为所以从而（2）由得.所以的单调递增区间为.17. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想 象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。满分13分。解：(1)因为平面,平面平面平面所以平面又平面所以. (2)过点在平面内作,如图. 由(1)知平面平面平面所以.以为坐标原点,分别以的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题
9、意,得.则.设平面的法向量.则即.取得平面的一个法向量.设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分13分。 解：(1)设顾客所获的奖励为X. 依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.依题意,得X的所有可能取值为20,60. .即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的
10、情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为2060100 的期望为, 的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40
11、,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080 的期望为, 的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19. 本小题主要考查双曲线的 方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想。满分13分。解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为. 设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在
12、满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件. 设直线的方程为,依题意,得k2或k0时，所以当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.21.（1）选修42：矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。（I）因为矩阵A是矩阵的逆矩阵,且,所以.（II）矩阵的特征多项式为,令,得矩阵的特征值为或,所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量. 是矩阵的属于特征值的一个特征向量.（2） 选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的 参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.（3） 选修4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算
