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1、 均布载荷的平面曲杆怎么求得弯曲内力弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。 梁Beam以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。 弯曲bending 平面弯曲plane bending7.1.2梁的计算简图 载荷： （1）集中力 concentrated loads （2）集中力偶 force-couple （3）分布载荷 distributed loads 7.1.3梁的类型 (1)简支梁simple supported beam 上图 (2)外伸梁overhanging beam (3)悬臂梁cantilever beam 7.2 梁弯曲时的内力 7.2.1
2、梁弯曲时横截面上的内力剪力shearing force和弯矩bending moment 问题： 任截面处有何内力？ 该内力正负如何规定？ 例71 图示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。 求内力的方法截面法 截面法的核心截开、代替、平衡 内力与外力平衡 解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。 梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。 剪力 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 弯矩 位于纵向对称面内。 剪切弯曲 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 工程上一般
3、梁（跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h 5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。7.2.2弯矩图bending moment diagrams 弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 例72 试作出例71中悬臂梁的弯矩图。 解 （1）建立弯矩方程 由例71知弯矩方程为（2）画弯矩图 弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。 例73 图示的简支梁 AB ，在C点
4、处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。 解 （1）求约束反力 （2）建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。例74 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。 解 （1）求约束反力 （2）建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。 （3）画弯矩图 两个弯矩方程均为直线方程 总结上面例题，可以得到作弯矩
5、图的几点规律： （1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。 （2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。 （3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。 7.3 梁纯弯曲时的强度条件 7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts 纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 Q = 0，M = 常数。7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams
6、 1梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation:平面假设： 1）变形前为平面变形后仍为平面 2）始终垂直与轴线 中性层 Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中性轴 Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。 变形时横截面是绕中性轴旋转的。 2梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是
7、拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零 。 3梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中， M 为作用在该截面上的弯矩（ Nmm ）； y 为计算点到中性轴的距离（ mm ）； Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（ mm 4 ）。 在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ；当 y = y max 时， s = s max 。 最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处， Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm
8、3 ) 计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h 5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。 7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。 梁的弯曲强度条件是 ： 梁内危险点的工作应力不超过
9、材料的许用应力。 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。 7.4 提高梁强度的主要措施 提高梁强度的主要措施是： 1）降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 1合理安排梁的支承 2合理布置载荷7.4.2合理选择梁的截面 1形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则 Wz 值可能不相同 2面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量 Wz 值不相同3截面形状应与材料特性相适应 7.4.3采用等强度梁 对于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于
10、许用应力。 为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 等强度梁 使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。建筑桩基技术规范按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。在表1的公式(1)(7)中p0线荷载的最大值(kN/m),p0a0自桩边算起的三角形荷载的底边长度;LC计算跨度,LC105L;L两相邻桩之间的净距;q承台梁底面以上的均布荷载。表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 支座弯矩 （a）、（b）、（c） （
11、1）（d） M （2）跨中弯矩 （a）、（c） M （3）（b） （4）（d）M （5）最大剪力 （a）、（b）、（c）Q （6）（d）Q （7）图1 计算简图a0按下式计算:中间跨 （8）边 跨 （9）其中 EC承台梁砼弹性模量; EK墙体的弹性模量; I承台梁横截面的惯性矩; bK墙体宽度。当承台梁为矩形截面时,Ibh3则: 中间跨 a0137h （10） 边 跨 a0105h （11）其中 b、h分别为承台梁的宽度和高度。表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。(1)跨
12、中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0LC时,取a0LC代入式(4)即可得式(5)。当a0时,跨中弯矩采用式(3),a0时,采用式(4)。令,并将P0代入式(3)和式(4)得: M2qL2C （13） （14）将上两式统一表示为: MA0qL2C （15）式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)(d)所示的四种受力简图。(2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。将和P0代入式(1)得 M（2） （16）或 MB0qL2C （17）(3)弯矩系数A0、B0跨中弯矩 MA0qL2C （15）支座弯矩 MB0qL2C （17）其中 A0、B0弯矩系数,分别为: 05，A02 0.5时,A0 B0（2）A0、B0皆为的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数 内 力 系 数 内 力 系 数 A0 B0 A0 B0 010 000083 001583 056 002590 006720 012 000120 001880 058 002753 006863 014 000163 0
