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高等数学多元微分学及其应用一 抽象函数、复合函数求偏导数(1.链式法则 2 是复合函数)1.求解 ; 2.求 解 . . 得. 应用隐函数微分法: 得二 隐函数的微分法3求.解 ; 三个变量二个方程,确定.二边对x 求导：；求出.三.几何应用4.过直线,作与曲线在点(1,-1,2)处切线平行的平面方程.解 切线的方向向量为 得切线方程: . 过直线的平面束: . 由平面与直线平行知:. . 所求平面.5.求平面与曲面相切的条件.解 设为切点.曲面切平面的法向量应与平面的法向量平行:得.;得.6.证明:曲面 上任意点的切平面过定点.解 令在处切平面法向量过的切平面:易知适合上述方程.即切平面上.四.多元函数的极值7.在平面上求一点,使它与距离平方和最小.解. 目标函数; 约束条件. 得到驻点(1,-1/2,1/2). Min f = 2.8. 确定.求它的极值.解 隐函数的极值.1.驻点.2.充分条件. ;解得. z=0 矛盾.驻点 且(1)对x求偏导:.用代入: .(2)对y求偏导:得.(1) 对y求偏导:用代入:.故z=z(x,y) 无极值.五.方向导数,梯度,散度,旋度.9. 是二阶可微函数.计算div(grad u).解 .问: 时,求f 的表达式. =.其中这是可降阶的二阶微分方程. 解得: . .
