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1、对称思想在解题中的运用江西省南昌师范学校 肖鉴铿“对称”是一种重要的数学思想，也是数学美的一种重要表现形式。在平面几何中，定义了“轴对称图形”与“中心对称图形”；在代数中，定义了“对称多项式”。但关于“对称”，好象未下过统一的定义。按数学家段学复先生的解释：“对称，照字面来说，就是两个东西相对又相称，因此把这两个东西对换一下好象没有动过一样。”本文打算就对称思想在解题中的运用作点粗浅的探讨。一、几何问题例1 判断下列命题的正误：如果两点到一直线的距离相等，那么这点的连线必定与这直线平行。解 这一命题是错误的，仅当这两点在直线的同侧时命题才正确，如图1，AB与l平行。而当这两点在直线的异侧时，两
2、点的连结就与直线相交。图1中A与B就是这样的两点。B其实就是B关于直线l的对称点。例2 如图2，l是一条公路，A、B是公路l同侧的两个仓库。现要在公路上建造一个物资转运站，使它与两个仓库的距离之和最小，问这个转运站的站址应如何选定？解 作B点关于l的对称点B，连结AB，与l相交于C点，则C点即为所求的站址（如图3）。证明 在l上任取异于C的另一点D，连结DA、DB、CB、DB在ADB中，ABAD+DB，即AC+CBAD+DB。由B、B的对称性易知CB=CB，DB=DB，故有AC+CBAD+DB。由D的任意性可知，AC+ CB之值最小。例3 已知ABCD是一个正方形，在平面上找一点P，使PAB、
3、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形。问满足条件的点P共有多少个？解（1）P点在正方形的中心处，这样的P点只有一个（见图4（1）；（2）P点在正方形内，且PBC为等边三角形。根据对称性，这样的P点共有4个（见图4（2）；（3）P点在正方形外，且PAD为等边三角形。根据对称性，这样的P点共有4个（见图4（3）。综上可知：符合条件的P点共有9个。二、行程问题例4 父子二人同在某工厂工作，父亲从家走到工厂要用30分，儿子走这段路，只要用20分。若父亲比儿子早5分动身，问过多少时间儿子能追上父亲？又设儿子要用x分才能追上父亲，则依题意可得方程答：儿子要用10分才能追上父亲。另解 用对称思想来考虑，父子
4、若同时出发，则父亲比儿子晚到10分，现父亲早出发5分，则必定晚到5 分，呈现一种对称状态。故知儿子必定与父亲同时到达全程之中点，此时儿子恰用10分。例5 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生从学校坐车出发的同时，第二班的学生开始步行，车到途中某处，让第一班的学生下车步行，车立即返回接第二班的学生上车，并直接开往少年宫。学生步行的速度为每时4千米，汽车载学生的速度为每时40千米，空车每时50千米。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班的学生必须步行全程的几分之几？（学生上、下车的时间不计）解 设由学校至少年宫的路程为线段AB，第一班学生坐车至C下车时，第二班学生恰行
5、至D；空车返回至E恰与第二班学生相遇；此时第一班学生已由C行至F；第二班学生乘车由E行至B时，第一班学生也由F步行至B，两班学生同时到达少年宫。依题意画出图5，不难看出：若以AB之中点M为中心，则A与B，D与F，E与C形成三组对称点。即AD=FB，DE=CF，从而AC=EB.运用对称性，可有如下解法。设AD=3，由于载人车速为人步行速之10倍，故AC=30，DC=27。由于空车速为人步行速之12.5倍，人与空车分别从D、C出发相向而行，至E相遇，故DE=2，EC=25。根据对称性知，CF=2，FB=3，AB= （2+3）三、钟面问题例6 在7时与8时之间，何时分针与时针成垂直关系？垂直关系时，
6、两针间相差15小格。7时整分针落后于时针35小格，故需追赶的“路程”为（35-15）小格。又根据对称性，分针在追过时针15小格后仍与时针垂直，此时需追赶的“路程”为（35+15）小格。故本题有两解。四、组合问题例7 有30个2分硬币和8个5分硬币，这些硬币的总和正好是1元。用这些硬币不能组成1元之内的币值是（ ）。解 由于没有1分硬币，所以不能组成1分和3分的币值。此后，4分，5分，6分，直至5角均可组成。根据对称性，知9角7分与9角9分也一定不能组成。所以不能组成1元之内的币值是1分，3分，9角7分与9角9分。五、填数问题例8 下面横排有12个方格，每个方格中填一个数字，要使任何相邻三个数之
7、和等于12，则x=（ ）解 由于任何相邻三数之和都相等，故左起第四格内的数字应是3，左起第七格内也应是3。右起第四格内的数字应是4。这种填数法实际上反映出一种对称性，形成一种“对称传递”（如图6）。又3+x+4= 12，故x=5。六、对策问题例9 两人轮流在圆桌面上摆硬币，每次摆一个，各个不能互相重叠，也不能有一部分在桌面的边缘以外。这样经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输。试证先摆的人有办法使对方一定输。证明 先摆者的制胜策略是：第一个硬币摆在圆心处，由于圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，所以当后摆者将硬币摆在异于圆心的任何位置时，先摆者必可相应地将硬币摆在其对称位置，最后，找不到地方摆的必然是对方。采用这种办法即能使后摆者必输无疑。
