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1、2017届河南省豫北名校联盟高三上学期精英对抗赛数学（理）试题 数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（ ）A B4 C-4 D2.复数（为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）A为的和 B为的算数平均数 C和分别是中最大的数和最小的数 D和分别是中最小的数和最大的数 4.设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.若将函
2、数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） A B C. D6.已知实数满足不等式组，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（ ）A B C. D7.已知函数，当时，的概率为（ ）A B C. D8.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（ ）A1 B C. D09.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（ ）A B C. D10.设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（ ）A B C. D11.已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（ ）A B2 C. D12.已
3、知是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，向量，则_.14.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是_.15.若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是_.16.已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）
4、若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）中国好声音（The Voice of China）是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；（2）记选出的2人导师为其转身的人数
5、之和为，求的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.请考生在22、2
6、3两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.名校联盟高三年级精英对抗赛数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:ABCAD 6-10: DDCCD 11、12：AB二、填空题13.1 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）设数列的公差为，则即2分又因
7、为，所以4分所以.5分（2）因为，即存在，使成立.9分又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.12分18.解：（1）设6位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身.从6人中随机抽取两人有种情况，2分其中选出的2人导师为其转身人数和为4的有种，3分故所求概率为.5分（2）的所有可能取值为3,4,5,6,7.7分；.9分所以的分布列为10分.12分19.证明：（1）连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接.因为是的重心，所以.1分又，所以.又据三棱柱性质知，所以.2分又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.3分又因为平
8、面，所以平面.4分（2）连接.因为，所以，所以，所以.因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面.因为，所以是等边三角形，所以.6分以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以.8分设平面的一个法向量为，则所以令得，10分所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.12分20.（1）设，则，1分，化简，得，椭圆的方程为.3分（2），4分又，.代入解，得（舍），6分，.即直线方程为.7分（3），.设，直线方程为.代直线方程入，得.9分，=，11分直线方程为，直线总经过定点.12分21.解：（1），又.2分所以.3分（2）函数的定义域是.4分若，则.令，则.又据题设分析知，.又有两个零点，且都大于0，不成立.5分据题设知不妨设，.6分所以. 所以.7分又，所以.9分引入，则.所以在上单调递减.10分而，所以当时，.易知，所以当时，；当时，.12分22.解：（1）由曲线的参数方程，得所以曲线的普通方程为.3分（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）.4分代入曲线的直角坐标方程，得，6分所以7分由题意可知.8分所以，即.9分解得.所以直线的斜率为.10分23.解：（1）1分当时，则，解得；当时，不成立；当时，由，解得.4分所以原不等式的解集为或.5分（2）即.6分因为，所以，9分所以.故所证不等式成立.10分1第页
