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1、湖南城市学院数学与计算科学学院数学建模实验报告专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师： 成 绩： 年 月 日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。实验内容：A、B两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
2、g10，此处g是重力加速度。（1）若飞机从处开始下降，试确定出飞机的降落曲线；（2）求开始下降点所能允许的最小值。 y u hO xB题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角
3、度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。参考数据资料如下：表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度出手高度出手角度实测成绩李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内克13.772.0640.0021.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度出手角度出手高度李梅素19.401
4、3.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。以降落点为原点O建立直角坐标系。在这个过程中飞机的垂直加速度不能超过g/10，g是重力加速度。水平速度不变为u.二、模型假设飞机准备下落时，距离原点的水平距离为x0，飞机的高度为h。三、模型构建四、模型求解五、结果分析与解释实验二 优化模型实验目的：理解优化模型的三要素，掌握优化模型建模求解步骤
5、与方法。实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题 梯子长度问题一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?B题 窖藏问题某酒厂有批新酿的好酒,如果现在就出售,可得总收入=50万元(人民币),如果窖藏起来待来年(第年)按陈
6、酒价格出售,第年末可得总收入(万元),而银行利率为=0.05,试分析这批好酒窖藏多少年后出售, 可使总收入的现值最大.C题 选址问题某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有个位置点（）可共选择，且规定：东区只能在，中至多选两个；西区则在，中至少选一个；南区则在，中至少选一个；如选用，设备投资估计为万元，每年可获利润估计为万元，问在投资总额不超过万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额万元，设备投资估计与每项投资每年获利见下表：1234567（万元）15018030020030010080（万元）25466053551716试求此问题的解。D题 生产计划问题某食品厂要用
7、C，P，H三种原料混合加工成三种不同档次的产品A，B，C，已知三种产品中原料含量限制，原料成本和每月限制用量，三种产品的加工费和单价等资料如下表所示。该厂应当每月生产三种产品多少公斤，才能使利润最大？试建立问题的线性规划模型。ABD每月原料限制（kg）原料单价（元/kg）CPH50%25%25%50%60%300030002400652535产品单价（元/kg）604540产品加工费（元/kg）654实验报告：一、问题分析二、模型假设三、模型构建四、模型求解五、结果分析与解释梯子在架设时不仅与长度有关，还与放置的角度有关。我们建设梯子与水平方向的夹角为，如图所示： 想要梯子能架设好需要满足的关
8、系式为：求解出最小梯长度子为7.02米才能满足要求。 实验三 微分方程模型实验目的：理解微分方程模型的构建的基本方法，掌握微分方程模型建模求解步骤与方法。实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题 酒驾识别问题一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是又过两个小时，含量降为试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100）。B题 物体冷却问题物体在20min内由100oC冷却到60oC，问经过多长时间此物能降到30oC？C题 血药浓度问题现有一体重60千克的人，口服
9、某药0.1克后，经3次检测得到数据如下: 服药后3小时时血药浓度为763.9纳克/毫升，18小时时血药浓度为76.39纳克/毫升，20小时时血药浓度为53.4纳克/毫升。设相同体重的人的药物代谢的情况相同。（1）问一体重60千克的人第一次服药0.1克剂量后的最高血药浓度是多少？（2）为保证药效, 在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物, 其剂量应使最高浓度等于第一次服药后的最高浓度，求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔和剂量。 D题 飞跃黄河为迎接香港回归，柯受良1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。柯受良和其坐驾合重约100kg，东岸跑道长265m,柯受良驾车从跑道东端起
10、动到达跑道终端时速度为150km/h,他随即从仰角冲出,飞越跨度为57m安全落到西岸木桥上。 问：（1）柯受良跨越黄河用了多长时间？ （2）若起飞点高出河面 10m,柯受良驾车飞行的最高点离河面多少米？ （3）西岸木桥桥面与起飞点的高度差是多少米？ （4）假设空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为0.2kg/m，重新讨论问题（1）-（3）的结果。实验报告：一、问题分析二、模型假设三、模型构建四、模型求解五、结果分析与解释实验四 稳定性模型实验目的：理解微分方程模型稳定性分析的的基本方法，掌握微分方程模型建模与稳定性分析的步骤与方法。实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假
11、设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题 两种群竞争问题该模型无解析解,试用数值解法研究以下问题: (1) 设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它们的图形及相图(x,y),说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势. (2)改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变(或保持s11),计算并分析所得结果;若s1=1.5(1),s2=0.7(1),再分析结果.由此你能得 到什么结论. (3)试验当s1=0.8(1),s2=0.7(1),s2=1.7(1)时又会有什么结果.能解释这些结果吗？B
12、题 食饵和捕食者在一个封闭的大草原里生长着兔子和狐狸，设t时刻它们的数量分别为x(t)和y(t)，已知满足以下微分方程组（1） 建立上述微分方程组的轨线方程；（2） 在什么情况下兔子和狐狸数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程组来分析人们对兔子和狐狸进行捕猎会产生什么后果？实验报告：一、问题分析二、模型假设三、模型构建四、模型求解五、结果分析与解释实验五 差分方程模型实验目的：理解序列递推分析的意义，掌握差分方程模型建模与求解步骤与方法。实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题 一年生植物的繁殖
13、一年生植物春季发芽,夏天开花,秋季产种.没有腐烂,风干,被人为掠去的那些种子可以活过冬天,其中的一部分能在第二年春季发芽,然后开花,产种,其中的另一部分虽未能发芽,但如又能活过一个冬天,则其中一部分可在第三年春季发芽,然后开花,产种,如此继续。一年生植物只能活1年,因而近似地认为种子最多可以活过两个冬天。试建立数学模型研究这种植物数量的变化规律,及它一直能够繁殖下去的条件。B题 按年龄分组的种群增长野生或饲养的动物因繁殖而增加,因自然死亡和人为屠杀而减少,不同年龄组动物的繁殖率和死亡率有较大差别,因此在研究某一种群数量的变化时,需要考虑按年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组,时间也离散化为时段。给定各年龄组的繁殖率和死亡率(在稳定环境下可假定它们与时段无关),建立按年龄分组的种群增长的模型,预测未来各年龄组的种群数量,并讨论时间充分长以后的变化趋势。 C题 城镇人口变迁设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化
