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1、圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆， 双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：e c （其中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2 ）双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系（1）椭圆：a2 b2 c2， 2a :长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1 PF2 2a 2b :短轴长 2c:椭圆的焦距（2 ）双曲线：c2 b2 a2 2a :实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1 PF2 2a 2b :虚轴长 2c:椭圆的焦距3、 求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找
2、参数a,b,c的比例关系（只需 找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1） 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形 （曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解（2） 利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1 ）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c
3、表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2 ）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e 0,1，双曲线：e 1,+二、典型例题：例1 ：设Fi,F2分别是椭圆2C：Xb21 a b 0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230o，则椭圆的离心率为( )A.bV1 C.1 D.-3636思路：本题存在焦点三角形 VPF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，0为F1F2中点可得PF2/ y
4、轴，从而PF2 F1F2，又因为 PF1F2 30o，则直角三角形VPF1F2中，PF：PF?: |吋2| 2:1:73 , 且 2a PF|PF,2c |吋, 所 以 c 2cF1F2IV3e 一 ；a 2a I PF|PF2|3答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意0为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与0搭配形成三角形的中位线。22例2 :椭圆令古1 O b 2 一3与渐近线为X 2y 0的双曲线有相同的焦点F1F2 2c，在双曲线中,Fi,F2,P为它们的一个公共点，且F1PF290,则椭圆的离心率为思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设2:1:
5、5，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：PFiPF24/3，由双曲线定义可得:PF1 PF2 2atc，因为 F1PF2.590，PFi代入可得:PF2484c 而 PFi邑8c25i2PF2I =c .102pf1 pf222PFi PF2l306答案：回6小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时,它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。2x例3 :如图所示，已知双曲线a的右焦点为F，过F的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，且直线I的倾斜角是渐近线OA倾斜角的uuur2倍，若AFULW2FB，则该双曲线的离心率为(3 2A.42 3B.3C.305
6、5D.2思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c表示，再寻找一个等量关系解出 a,b,c的关系。双曲线的渐近线方程为ybx， a由直线I的倾斜角是渐近线0A倾斜角的2倍可得：程得则yA答案:2ba2a2ab2 ,2a bb2 yBb2，确定直线1的方程为ya22abb2c,与渐近线联立方2abca2 b22abc3a2 b2 Or2abc3a222 y b2b2，解得 a：b：uurAFuuu2FB转化为坐标语言，c 3:1: 2，从而 e 2 331(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得| PF11|PF2| 3b,|PF1| |PF
7、2|9ab,则该双曲线的离心率为4459A.-B.C.334思路：条件与焦半径相关，所以联想到PF1PF22a，进而与例4 :设xF2分别为双曲线aD.3PF1PF22PF1即9b24a29ab9b2b2b99 -40aaa: b: c 3: 4:59|PF2|一 ab,找到联系，计算出42PF24PF1PF29ab4a20解得b1、b(舍)或_a3ac5e 一a3I PF | IPF2I 3b,|PF1| 解: Q| PF1 PF2| 2aa,b的比例，从而求得e43答案：B例5 :如图，在平面直角坐标系xOy 中,2 x A, A2, B1, B2为椭圆一2 a1(a b 0)的四个顶点，
8、F为其右焦点，直线 AB2与直线B1F相交于点T,线段0T与椭圆的交点 M恰为线段0T的中点，则该椭圆的离心率为 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意 义，所以考虑将点的坐标用 a, b, c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线AB2,BiF的方程含a,b,c，联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示（Ta2ac b a c），则OT中点Macb a c,再利用M点2 a c在椭圆上即可求出离心率解：直线ab2的方程为:x直线B1F的方程为：-cyb联立方程可得:bxcyaybxabbc解得：t （込，卫）,a c a cac b(a c) 则M (ac2(a c)）
9、在椭圆2771(ab0)上,c2(ac)2(aC)24(ac)2解得:e2 75答案:e2 75例6 :已知F是双曲线1,c210ac3a20,10e 32x2a=1a 0,b 0的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率围为B.1,2C.1,1思路：从图中可观察到若 VABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角。由对称性可得只需AEF 0,4即可。且AF,FE均可用a,b,c表示,AF是通径的一半，得:AFFEa c,所以 tanAEF|AF|FE即e1,2答案:Bb2小炼有话说：（1 ）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个
10、三角函数值，从而将角 的问题转变为边的比值问题2即可求（2）本题还可以从直线 AE的斜率入手，E a,0 ,A c,，利用kAE1,0PF2 , PF1，所以PF1F2,a例7x:已知椭圆2y 1 2a b0的左、右焦点分别为ab2F1c,0 , F2c,0,若椭圆上存在点 P 使ac则该椭圆的离心率的取值范围为11sinPF1F2sinPF2F1I()A.0/21B.返1C. 0匝D. /2 1,122出离心率2 2思路:PF2F1为焦点三角形VPF1F2的内角，且对边为焦半径利用正弦定理对等式变形:sin PF| F2sin PF2F1sin PF2Ficsin PF1F2aPF1cPF2
11、a再由IPF2I | PF2a解得:| PF22a2,再利用焦半径的范围为a c,a c可得（由于依题意，P非左右顶点，所以边界值a c,a c ):2a2a caa c2 2a c2a22a22 ca 2ac2a2e2e 1，解得 e .21,10答案:2X已知F2是椭圆E : va的左右焦点,若椭圆上存在点P，使得PFiPF2，则椭圆离心率的取值范围是(A.C. 0兰5思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时,F1 PF2达到最大值。所以若椭圆上存在PFiPF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的90，考虑该角与 a,b,c的关系,由椭圆对称性可知,tanOPF2of2.c 1，即 c bOP bc2 b2c2a2OPF2 45，2c2，进而三-即e2a 2所以解得子，再由e 0,1可得e思路:由PFi PF2可得F1PF290，进而想到焦点三角形F-)PF2的面积：S/F1PF2b2ta n2F1PF2b2，另一方面：SVf1 pf2F1F2yPc yPb2yP再同思路一可解得:b2，因为P在椭圆上，c所以yPb,b，即 yPuur思路三：PF1 PF2可想到PF1uujrPF2进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。P x,y ,F1c,0 ,F2 c,0，uurPFiuurc
