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1、角平分线知识点总结与巧用一.定义、定理1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的角平分线。1.1. 平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。3 .逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。4 .三角形内心：三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。二.基本结论1.三角形内(外)角平分线夹角结论(1)如图 PB、PC 分别平分/ ABC 和/ACB /P=90 +1/A,2且点P在/ BAC勺角平分线上(2)如图 PB、PC分别平分/ ABC和/ACB的夕卜角/P=90 -1/A,2且点P在/ BA
2、C勺角平分线上1(3)如图 PB平分/ABC、PC平分/ ACB的外角 /P=/A且点P在/BAC#角的角平分线上2.三角形的三条角平分线交于一点(内心)，这个点到三角形三边的距离相等。3.三角形内(外)角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。B c T)(1)在 ABC中，AD是/BAC的角平分线 AB: AC=BD DC(2) AD ABC外角 / BAP的角平分线 AB: AC=BD DC三、关于角平分线常见的辅助线作法:1.作双高，或多高 (1)构造全等(2)对角互补形四边形ABCD中，BD是/ ABC的角平分线, 且/ 3+/4=180 DA=DC2.作平行线(1)平分
3、平行 等腰(2)构造A型、X型D63.截长补短构全等4.平分线+高线，延长？等腰B四、典型例题灵活运用1、如图在 ABC中，PB平分/ ABC, PC平分/ ACB的外角，连接 AP,若/ BPC=40贝U/ CAP=50E、2、已知： ABC中，/ ABC和/ ACB的角平分线交于点 。，过O的直线EF/ BC ,分别交 AB、ACF 两点，若/ BOC=135 , EO: OF: OD=20:15:12 , ABC 的面积为 216,则 OD=3、在 ABC中，/ A=2 / B, AC=3.5 , BC=5.5 , D为射线 BA上一点，D到直线 AC , BC的距离相等,AD= 。 （
4、两种情况）4、在 ABC中，O是角平分线 BE和CD的交点，/ A=60 ,求证：（1）求/ BOC 的度数；（2）求证：OD=OE ; （3）求证：BC=BD+CE5、矩形 ABCD 中，F 为 BC 中点，/ 1 = 7 2,求证：AE=AB+EC6、在正方形 ABCD 中，/ 1 = 7 2, 求证：AE=BE+DF7、在 ABC 中，AD 是中线，/ 1 = Z2, CE/AB ,若/ BAC=120 , AB=12 , AC=8 ,求 EC 的长度（答案：EC=5）8、在 ABC中，AD是角平分线，2/C=/B,求证：AC-AB=BD9、在 RTAABC 中，/ C=90 , AC=
5、BC , BD 是角平分线， AEBD 于 E,求证：BD=2AE10、如图，在 ABC 中BE、CD分别为 ABC的角平分线， AD CD AE BE,连结 DE,若 AB=8, AC=5 /BAC=60。，则DE的长为.（答案：3）11、如图，在等边 ABC中,AB=8,D 为AB中点，点E在BC上，点F在AC上，且AF=3CF, DE平分/ BDF,贝U BE=（答案：2 7 -2）D12、如图，已知菱形ABCD点E为AD边上一点，连接CE,ffiA CDE沿着CE翻折,CD的对应边所在直线交直线 AB 于点 F,若 AF=2,AE=3,CF=4,贝U CD=答案：613.如图，在等边
6、ABC中,AB=4,AD BC于点D ,点P在AB的延长线上，点Q在AB 上，/ PDQ=60QD延长线交AC延长线于点 R (PBCR),若PR=7,则PQ=(答案：7)314、已知：在 RtAABC 中，/ BAC=90 , CD 平分/ ACB , / EDC=45 .(1)求证：/ AED+ 1/ABC=90 2(2)过点E作DE的垂线，交 DC于M ,交BA延长线于 N.若NE : MC= 22 : 3, 探究BD与BC的数量关系.15、已知；在4ABC中，AD为BC边上的中线，点 E为BC边上的一点 BE=AC。求证：ZBEA+Z DAC=180；(2)过点C作CHL AB与点H,分别交BE AD与点 M N,过点E作EF/ AC,交CH于点Q,若BE=EF+DFBE:EF=3:2, 请你探究线段 MHW ME之间的数量关系，并证明你的结论。图1图2
