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1、第06章向量代数与空间解析几何习题详解（总16页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-第六章向量代数与空间解析几何习题631、已知A(1,2,3),B(2,1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解：设M(x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有|MA|MB|,；/222212,2x1y2z3x2y1z4,化简得所求方程2x6y2z70.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程解：设在给定的坐标系下，动点M
2、(x,y,z),所求的轨迹为C,则M(x,y,z)CMA,|z亦即J(x4)27?|z(x4)2y20从而所求的轨迹方程为(x4)2y20.3、求下列各球面的方程：(1)圆心(2,1,3),半径为R6;(2)圆心在原点，且经过点(6,2,3);(3)一条直径的两端点是(23,5)与(4,1,3);(4)通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4)解：(1)所求的球面方程为：(x2)2(y1)2(z3)236(2)由已知，半径Rv162(2)2327,所以球面方程为x2y2z249243153.(3)由已知，球面的球心坐标a3,b1,c1,222球的半径R1n(42)2(13)2(5
3、3)2V21,所以球面方程为：2(x3)2(y1)2(z1)221(4)设所求的球面方程为：x2y2z22gx2hy2kzl01 0因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4),所以168g0解之得102g6h0168k0l0h1g2k2所求的球面方程为x2y2z24x2y4z0.4、将yOz坐标面上的抛物线y22z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：x2y22z（旋转抛物面）.5、将zOx坐标面上的双曲线2二1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生c成的旋转曲面的方程.2解：绕x轴旋转得二a2z2c绕z轴旋转得22xy2a6、指出下列曲面的名称，并作图:面;
4、22(D-(2)2z;(3) x2z2；(4)2x0；(5)(8)解:z2；(6)4x24y2y216z1；(9)2z1;3(10) 2x22y213z2.（1）椭圆柱面；（2）抛物柱面;圆柱面；（4）球面;(5)圆锥（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面;（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形(1) yx1;(2)x2y24；(3)x2y21;(4)x22y.解：(1)yx1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；(2) x2y24在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；(3) x2y21
5、在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；(4) x22y在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的222(1)-y1;(2)499222(za)xy2解：(1)xOy平面上椭圆422圆土巳1绕x轴旋转而成492(2) xOy平面上的双曲线x2匕42线z2彳1绕y轴旋转而成(3) xOy平面上的双曲线x2y2线x2z21绕x轴旋转而成2x2匕Z21(3)x2y2z21;(4)421绕x轴旋转而成；或者xOz平面上椭91绕y轴旋转而成；或者yOz平面上的双曲1绕x轴旋转而成；或者xOz平面上的双曲xOz平面上的直线zxa(4) yO
6、z平面上的直线zya绕z轴旋转而成或者绕z轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：(1) 3x4y2z120与三个坐标平面所围成；(2)z4x2,2xy4及三坐标平面所围成；(3) z=0,z=a(a0),y=x,x2+y2=1及x0在第一卦限所围成；(4)zx2y2,z8x2y2所围.解：(1)平面3x4y2z120与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；(2)抛物柱面z4x2与平面2xy4及三坐标平面所围成；(3)坐标面z=0、x0及平面卦限所围成；(4)开口向上的旋转抛物面z围.作图略.z=a(a0)、y=x和圆柱面y2与开口向下的抛物面x2+y2=1在第z8x2y2所习1、画出
7、下列曲线在第一卦限内的图形(1)解:y(1)12；(2)是平面(2)上半球面z(3)圆柱面x2.224xyy0(3)2x2x1与y2相交所得的一条直线;2y2zy/与平面xy0的交线为z2a2的交线.图形略.2a2a1-圆弧;4222、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2xy22xz2z162y0的柱面方程.解：消去x坐标得3y2z216,为母线平行于x轴的柱面;消去y坐标得：3x22z216,为母线平行于y轴的柱面.3、求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程(任写出三种不同形式的方程).22解：yz1;x04、试求平面x22222xyz1x2x0y2220与椭球面上L二16124
8、2y2z1相交所得椭圆的半轴与顶点解：将椭圆方程222士L二116124化简为:x2022七三193,可知其为平面x2上的椭圆，半轴分别为3,J3,顶点分别为(2,3,0),(2,3.0),(2,0,3),(2,0,3).5、将下面曲线的一般方程化为参数方程22222(1)2yz9，(xDy(z1)4yxz0解：（1）原曲线方程即:yx2x2z2d，化为1993cost23cost,2(0t2);z3sintx1.3cos(2)y73sin(02).z0xacos6、求螺旋线yasinzb在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程_zzyasinxacosb；b.x0y07、指出下列方程所表示的曲
9、线“、x2y2z225.（1）y（2x32.22（3）x4yz25；x3解：（1）圆；（2）椭圆；22_2x24y29z230.z12222yzy2z24x80z.x1，；(5)94y4x20(3)双曲线；(4)抛物线；(5)双曲线.8、22求曲线yzz32x0在xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即:2x39,是包于平面z3上的抛物线，在xOy面上的投影曲线为2_y2x9z09、求曲线解:(1)消去变量z后得x2y21，在xOy面上的投影为34,它是中心在原点，半径为斗的圆周.(2)因为曲线在平面z1,一,一，一，上，所以在xOz面上的投影为线21z2,y0|x|.3
10、一；21(3)同理在yOz面上的投影也为线段.z2,x0|y|.310、求抛物面y2z2x与平面x2yz0的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.222解：交线方程为yzx,(1)消去z得投影xx2yz0z22(2)消去y得投影x5z2xz4x0,(3)消去x得投影y0习题651、写出过点M01,2,3且以n2,2,1为法向量的平面方程L25y4xyx00y2z22yz0x0解：平面的点法式方程为2x12y2z30.2、求过三点A1,0,0,B0,1,0,C0,01的平面方程.解：设所求平面方程为axbyczd0,将A,B,C的坐标代入方程，可得abcd,故所求平面方程为xyz1.3、求过点0,0
11、,1且与平面3x4y2z1平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为n3,4,2,从而其方程为3x04y02z10即3x4y2z2.4、求通过x轴和点(431)的平面的方程解：平面通过x轴一方面表明它的法线向量垂直于x轴即A0另一方面表明它必通过原点即D0因此可设这平面的方程为ByCz0又因为这平面通过点(431)所以有3BC0或C3B将其代入所设方程并除以B(B0)使得所求的平面方程为y3z05、求过点(1,1,1),且垂直于平面xyz7和3x2y12z50的平面方程.解：n11,1,1,n23,2,12取法向量nn1n210,15,5,所求平面方程为化简得：2x3yz60.6、设平面
12、过原点及点(1,1,1),且与平面xyz8垂直，求此平面方程.解：设所求平面为AxByCzD0,由平面过点(1,1,1)知平ABCD0,由平面过原点知D0,-.-n1,1,1,ABC0AC,B0,所求平面方程为xz0.7、写出下列平面方程：(1)xOy平面；(2)过z轴的平面；(3)平行于zOx的平面；(4)在x,y,z轴上的截距相等的平面.解：(1)z0,(2)axby0(a,b为不等于零的常数)，、(3)yc(c为常数)，(4)xyza(a0).习题661、求下列各直线的方程：(1)通过点A(3,0,1)和点B(2,5,1)的直线；(2)过点1,1,1且与直线4U二平行的直线.234(3)
13、通过点M(15,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线；(4) 一直线过点A(2,3,4),且和y轴垂直相交，求其方程.(5)通过点M(1,0,2)且与两直线11K出一垂直0的直线;(6)通过点M(2,3,5)且与平面6x3y5z20垂直的直线.解:所求的直线方程为：泞y5y5(2)依题意，可取L的方向向量为s2,3,4,则直线L的方程为(3)所求直线的方向向量为：cos60,cos45,cos1201_2,22故直线方程为:(4)因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B(0,3,0),取sBA2,0,4,所求直线方程(5)所求直线的方向向量为:x2y3z4.2041,1,11,1,01,1,2,所以，直线方程为:(6)所求直线的方向向量为:6,3,5,所以直线方程为:2、求直线xyz1的点向式方程与参数方程.
