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1、知识点：在定义域内恒成立的几种等价条件(1) f (X) 0恒成立等价于f (x) 0。min(2) f (x) 0恒成立等价于f (x) g(x)等价于f (x) - g(x) 0。min(4) f (x) g(x)等价于f (x) g(x)g(x )等价于 f(x) g(x)。1 2 min max一、端点与一次函数最值问题对于任何单调函数，最值必在端点处取得。知识点：单调函数f (x) 0在xi, x2上恒成立,二、端点与二次函数恒成立问题知识点：(1 )二次函数f (x) = ax2 + bx + c，若a 0，则f (x) 0在a, b上恒成立，则等价为f (x2) S，(2)二次函
2、数 f (x) = ax2 + bx + c 若 a 0在x1, x2上恒成立, 则等价为f( $ (0。特别注意端点效应不成立的结论：等价为Jf (x ) 0 tf (x2) (3)若a 0，则f (x) 0在x ,x 上恒成立,12则不等价为(2)单调函数f (x) 0等价为(4)若a 0,则f (x) 0在x , x 上恒成立,12则不等价为如果能确定函数的单调性,则只需要一个条件即可。f(x1)02例1、若f (x)二xekx在-1,1上递增，求实数k的例 2、已知函数 f (x) = x2 + 2ax +1 ，取值范围.解：要使函 数 在 在 -1,1 上 递 增 ， 则需要g (x
3、) = 2x + 2a ，若 x e -2,-1，不等式 f (x) 0在-1,1上恒成立,即kx +1 0在-1,1上恒成立,设 h( x) = kx +1，则满足h(-1) = -k +1 0 h(1) = k +1 0，k-1，解：由 f (x) g(x)得x2 + 2ax +1 2x + 2a，即 x2 +(2a 2) x +1 - 2a 0 在-2,-1恒成立,设 h(x) = x2 +(2a 2) x + 1-2a， n,.r.Jh(-1) 0 Rn f4-4a n则八需要h(-2) 0，即9-6a -1 23得 a 。三、端点与一次绝对值函数恒成立问题知识点：函数f (x) =1
4、 ax + b I在x , x 上的最大12 值必在端点处取得。例3、已知t为常数，则函数f (x) =I x-11在区间0,3上的最大值是2,则t =变式2 : ( 2017浙江)已知a e R，则函数4f (x) =I x + - a I在区间1,4上的最大值是5，则xa的取值范围是解：由绝对值的性质知f (x) =I x-11在区间0,3上的最大值在端点x=0或x=3处取得,1)若最大值在 x=0 处取得，|t|= 2|3-t|2，解得 t=2,2)若最大值在 x=3 处取得，|3-t|= 2ItI 2，解得 t=1,综上t=1或t=2.变式1:( 2008浙江理)已知t为常数，则函数f
5、 (x) =I x2-2x -11在区间0,3上的最大值是2，参考答案变式1：解:设u = x2-2x，则-1 u 3， 则函数等价为y T u -11在1 u 3上的最大值 为 2，则函数的最大值在u=3或u=-1处取得，若最大值在u=-1处取得，则满足|3：t |2，解得 t=1,I3-tI= 2若最大值在u=3处取得，则满足|，解得 t=1,综上 t=1.4参考变式2解：设u = x + -，则4 u 5，则函 数等价为y =I U - a 1 + a在4,5上的最大值为5，则函数的最大值在u=4或u=5处取得,(1)若最大值在u=4处取得,则满足j4-aI+a=5 l5-aI +a 5(2)若最大值在u = 5处取得,则满足j5-aI+a = 5l4-aI +a 59综上a 2 -
