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1、第三章 目标规划第一节 目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。一、举例例 1 某厂生产、两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。 生产有关数据表 拥有量 原材料 （公斤） 2 1 11 设备台时（小时） 利润 （元/件） 1 8 2 10 10用线性规划方法求解：设、两种产品产量分别为x1，x2
2、可得 Z=62元，X=（4，3）T但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：据市场信息，产品销售量下降，要求产品产量低于产品产量；尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；达到并超过计划利润指标56元。这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。二、目标规划基本概念1. 设x1，x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d表示决策值未达到目标值的部分，d+，d0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d+d0。2.绝对约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“，
3、” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d+、d”表示，称为软约束。约束的一般形式为：式中第个目标约束的目标值；目标约束中决策变量的参数；以目标值为标准而设置的偏差变量。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x1 + 10x2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x1 + 10x2 =56 + d+d ；而同样，线性规
4、划问题的绝对约束：2x1 + x2 11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x1 + x2 = 11d 。建立约束需注意的问题时：（1）对于绝对约束，则为资源限制值，上式中不加。（2）非负约束是指偏差变量非负，至于决策变量是否要求非负，依具体问题要求决定。（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。（4）如果有明显的目标要求，可在中只选一个。3.优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次之分的。要求首先达到的目标赋予优先级P1，稍次者赋予P2 ，。这里规定：不同级目标重要性差异悬殊，Pk Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础上
5、再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数wj 。4.目标函数目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d+、d，优先级Pk与权系数wj所构成的。与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量xj 。当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。因此，目标规划问题的目标函数只能是：Min Z = f (d+，d)。其基本形式有下列三种：要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f (d+ + d)要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标
6、函数的形式： min Z = f (d+ )要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f ( d)由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看作是绝对的。决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函数。下面举例说明。例2 某构件公司商品混凝土车间生产能力为20t/h，每天工作8h，现有2个施工现场分别需要商品混凝土A为150t，商品混凝土B为100t，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：原材料消耗、拥有量R单位利润表AB拥有资源量水泥/t0.350.2550t砂/t0.550.65130
7、t单位利润/元10080（1）充分利用生产能力；（2）加班不超过2h；（3）产量尽量满足两工地需求；（4）力争实现利润2万元/天试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。解：1.确定变量设分别为两种混凝土的产量。2.约束条件（1）目标约束：级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。 其中要求级：要求可以加班，但每日不超过2h，即日产量不超过200t。 其中要求级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。 其中要求 其中要求因需求量不能超过其需求，故=0级：目标利润超过2万元。 其中要求（2）资源约束水泥需求不超过现有资源： 砂需求不超过现有资源：（3）非负约束3.目标函数依目标约束中的要
8、求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即100:80，故W1=5，W2=4。故目标函数为整理得该问题的目标规划模型为：目标：约束条件：例 3 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品产量低于产品产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达到并超过计划利润指标56元，求决策方案。解 按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级P1，P2，P3。然后建立目标规划模型如下：min z = P1d1+ + P2(d2+d2) + P3d32x1 + x2 11 x1x2 + d1 d1+ = 0 x1 +2x2 + d2 d2+ = 108x1 +10
9、x2 + d3d3+ = 56x1，x2，di，di+ 0， i = 1，2，3目标规划数学模型的一般形式： 建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化。第二节 目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划数学模型，可采用图解法分析求解，这对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。下面用例2加以说明。类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件。绝对约束的作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出di+，di= 0对应的直线，然后在直线旁相应侧标注di+，di，如图3-1所示。根据目标函数中的优先级对下图
10、进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称目标规划问题的最优解为满意解）。 x2 B11d1 d1+d2d2+A0 5.57 d3+ 10 x1FEd3 DCG 图3-1例2的目标规划的图解由图可见，首先考虑绝对约束：2x1 + x2 11，解的可行域为三角形 0AB，然后按优先级P1，目标函数中要求min d1+，解域缩减至0BC内；再按优先级P2，目标函数中要求min (d2+d2)，解域缩减至线段ED上；最后按优先级P3，目标函数中要求min d3，因此最终满意解域为线段GD。可求得相应坐标：G（2，4），D（10/3，10/3）。GD的凸线性组合都是该目标规 划的
11、解。目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋P1）例中能依次满足d1+=0，d2+d2=0 d3=0，因此z*=0。但大多数情况下并非如此，还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明。例 3 某电子设备厂装配A、B两种型号同类产品，每装配一台需占用装配线1小时。每周装配线开动40小时，预计每周销售：A产品24台，每台可获利80元；B产品30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为：第一目标：充分利用装配线每周开动40小时；第二目标：允许装配线加班，但加班时间每周不超过10小时；第三目标：装配数量尽量满足市场需求。要求建立上述问题的数学模型并求解。解 设x1，x2分别为产品A、B的
12、计划产量。对于第三目标，由于每台A产品利润是B产品的2倍，因此取其权系数分别为2，1。建立目标规划模型：min z = P1d1+ P2d2+ + P3(2d3+d4)x1 + x2 + d1 d1+ = 40x1+ x2 + d2 d2+ = 50x1 + d3 d3+ = 24x2 + d4 d4+ = 30x1，x2，di，di+ 0， i = 1，2，3，4Ed2+d1+DBGFHx2d3d3+d4+d4-d1-d2-0 24 A C x1 图3-2 例3的目标规划的图解由图3-2可见，在考虑了第一目标和第二目标之后，x1和x2的取值范围为ABCD。考虑P3的目标要求时，由于d3的权系数大于d4，应先满足d3= 0，因此这时x1和x2的取值范围是ACEH，而其中只有H点使d4取值最小，故取H点为满意解。其坐标为（24，26），即该厂每周应装配A产品24台，B产品26台。（可与G端点的结果比较一下利润上的差别。）对于多于两个变量的情况，类似于线性规划，可用单纯型法求解。
