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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)椭圆共轭直径中的面积问题由椭圆的共轭直径生成的面积试题 过定点M(x0,y0)的直线与椭圆C交于A、B两点,O是坐标原点,求OAB面积S的最大值问题是高考的热点问题,对此,我们给出如下结论.母题结构:己知A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆G:+=1(ab0)上的任意两点,O为坐标原点,则:当且仅当+=0,即直线AB:x+y=1(其中,2+2=2,此时,直线AB为椭圆+=的切线)时,SAOB取得最大值=ab.母题解析:设x1=acos,y1=bsin,x2=acos,y2=bsin(02
2、),则SAOB=|x1y2-x2y1|=|abcossin-abcossin|=ab|sin(-)|ab,当且仅当|sin(-)|=1,即cos(-)=0时,等号成立;又+=0coscos+sinsin=0cos(-)=0;直线AB:(x1-x2)(y-y1)=(y1-y2)(x-x1)(y1+y2)(y-y1)=-(x1+x2)(x-x1)+=+为x+y=1(其中,2+2=2)+=0,此时,直线AB为椭圆+=的切线. 1.求三角形面积的最大值 子题类型:(2015年浙江高考试题)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.()求实数m的取值范围; ()求AOB面积的最大值(
3、O为坐标原点).解析:()设AB中点P(x0,y0),由kOPkAB=-y0=x0P(-,-),由P在椭圆内m(-,-)(,+);()设A(cos,sin),B(cos,sin)(0b0)的离心率为,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.()求E的方程;()设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.解析:()设F(c.0),则=c=,又=a=2b=1E的方程:+y2=1;()设A(2cos,sin),B(cos,sin)(0b0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,
4、求三角形AOB面积的最大值.2.(2006年山东高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线的距离为4.()求椭圆的方程;()直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当三角形AOB面积取得最大值时,求直线l的方程. 5.子题详解:1.解:()由e=,a=b=1椭圆C:+y2=1;()设A(cos,sin),B(cos,sin)(0b0).则b=c,且=4a2=2,且b=c=1,所以,椭圆方程为+y2=1;()设A(cos,sin),B(cos,sin)(02),则SAOB=|x1y2-x2y1|=|cossin-cossin|=|sin(-)|,当且仅当|sin(-)|=1,即cos(-)=0时,等号成立,此时,直线AB:x+y=1,其中,2+2=2;由直线AB过点P(0,2)=,=直线AB:y=x+2.
