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1、绝密 启用前广东省番禺地区2010届第二次调研考试数学试卷本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第卷(非选择题) 组成，共4页；答题卷共4页满分150分考试结束后将答题卡和答题卷一并交回第卷(选择题，共60分)注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上3参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)；如果事件A在一次试验中发生的概率为P
2、，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：；正棱锥、圆锥的侧面积公式 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；球的体积公式 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把它选出来填涂在答题卡上1. 已知双曲线的离心率为，则它的两条渐近线的夹角为A.30B.45C.60D.902. 设P、Q是两个非空集合，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，若P0，1，2，Q1，2，3，4，则P*Q中元素的个数是A.4个B.7个C.12个D.16个3. 下列各组向量中，共线的是A.(2，3)，(4，6)B.(2，3)，(3，2)C.
3、(1，2)，(7，14)D.(3，2)，(6，4)4. 已知一个简单多面体的每一个面都是三角形，以每一个顶点为一端都有5条棱，则此多面体的棱数为A.30B.32C.20D.185. 若3个平面将空间分成n个部分，则n的值为A.4B.4或6C.4或6或7D.4或6或7或86已知数列an的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么an与的大小关系是A B C D与a、b的取值有关 7设且17q 的终边与q 的终边相同，则tanq = A1 B C+1 D18方程 x (x2 + y23) = 0与x2 + (x2 + y23)2 = 0所表示的曲线是A都表示一条直线和一个圆B都表示两个点C前者是两个点
4、，后者是一条直线和一个圆D前者是一条直线和一个圆，后者是两个点9设a、b是某一锐角三角形的两个内角，则必有Asinacosb且sinbcosaBsinacosb且sinbcosaCsinacosb且sinbcosaDsinacosb且sinbcosaxyOxyOxyOxyO10函数y=x+cosx的大致图象是A B C D11由方程 确定的函数y=f(x)在(，+)上是A奇函数 B偶函数 C增函数 D减函数 12已知a，b，cR，若，且，则下列结论成立的是Aa，b，c同号 Bb，c同号，a与它们异号Cb，c 同号，a不能确定 Da，b，c的符号都不能确定第卷 (非选择题 共90分)二、填空题：
5、本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13已知目标函数S = 2x + y，则函数S在条件下的最大值为 14已知，那么角a是第 象限的角15设a、b、c是ABC中A、B、C的对边，S是ABC的面积，若a=4，b=5，则c = 16已知命题：“若数列an为等差数列，且am=a，an=b (mn，m，nN+)，则”现已知数列bn(bn0，nN+)为等比数列，且bm=a，bn=b (mn，m，nN+)，若类比上述结论，则可得到bm+n= 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本题满分12分) 已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足若
6、a2、a4、a9 成等比数列，求数列an的通项公式18(本题满分12分) 已知A是圆x2 + y2 = 4上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P，求点P的轨迹方程19(本题满分12分) 设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值20(本题满分12分) 某地计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地.若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x (亩)的平方成正比，其比例系数为a设每亩水面的年平均经济收益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元(其中a，b，c均为常数)
7、() 若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值() 如果填湖造地面积按每年1的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的25，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几.21(本题满分12分) 证明： 22(本题满分14分) 试利用“对数函数y = log a x在(0，+)上的单调性质：0x1x2 log a x1log a x2 (a1)；0x1x2 log a x1log a x2 (0a1” 解决下列问题：已知二次函数f(x)的图象开口向下,且对任意实数x有f(2x)=f(2+x), 解关于x的不等式：广东省番
8、禺地区2010届第二次调研考试数学参考解答及评分标准一、DCDA DADD CBDA 二、132 14二或四 15或 16 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证17解 对任意nN*，有 ， (1) 当n=1时，有 ，解得 a1 = 1 或a1 = 2 3分当n2时，有 (2) 于是，由 (1)(2) 整理可得 (an + an1)(anan13)=0因为an的各项均为正数，所以 anan1 = 3 8分当a1 = 1时，an =1+3(n1)=3n2，此时a42=a2a9成立当a1 = 2时，an =2+3(n1)=3n1，此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去所以a
9、n=3n2 12分18xyOBDACP解 设点A的坐标为A(2cosa，2sina)，则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为(x2cosa)2 + (y2sina)2 = 4sin2a 4分联立已知圆x2 + y2 = 4的方程，相减，可得公共弦CD的方程为xcosa + ysina = 1+ cos2a (1) 8分而AB的方程是 x = 2cosa (2)所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cosa，sina)，消去a，即得点P的轨迹方程为x2 + 4y2 = 4 12分说明： 设A(m，n)亦可类似地解决19解 设 点P在直线OM上， 与共线，而， x2y=0即x=2y，有 4分 ，
10、= 5y220y+12= 5(y2)28 8分从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值8，此时，于是， 12分20解填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益 x (亩) ax2 (元) bx cx() 收益不小于支出的条件可以表示为 cx ax2 + bx，所以 ax2 + (bc)x0， xax(cb)0当 cb0，即 时，此时不能填湖造地； 3分当 cb0，即 时，此时所填面积的最大值为亩 6分() 设该地现有水面m亩，今年填湖造地x亩，则 ，不等式左边是无穷等比数列(首项为x，公比q=0.99)的和，故有 ， 即 因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的0.25 12分
11、21 证明： 分子=(sin2acosa+cos2asina)(cos2acosasin2asina)sina+cosa= (2sinacos2asina)+cos2asina(cos2acosacosa)+sin2asina= sina(2cos2a1)+sinacos2a+2sin2acosa+sin2asina= 2sinacos2a+2sin2asina= 2sina(sin2a+cos2a)， 9分分母=2sinacosa+2cos2a1= (sin2a+cos2a) 11分 左边=2sina=右边，故等式成立 12分22解 由题意知，二次函数f(x)的对称轴为直线x=2， 2分故f(x)在x(，2上单调递增，在2，+上单调递减 ， 且 0a1， ， ， 6分于是，得 ， 即 10分 =， 12分 原不等式的解集为 14分
