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1、复合泊松分布及其性质称随机变量S = SNX服从参数为九的复合泊松分布，如果满足 i=1 i1 随机变量N , X , X , X是相互独立1 2 n2若X ,X , ,X具有相同的分布，且分布与X相同12n3N服从泊松分布，参数为九0 E (S)二 E (X) E (N)二九 E (X)Var (S) = Var (X) E (N) + E (X)2Var (N)= XVar (X) + 九 E (X ) =X E (X 2)e-九九nP( N = n)F *n (x)=乙F *n (x)Sn !n=0n=0Ee-X nf*n (X)Sn !n=0定理31设S ,S ,S为相互独立的随机变量
2、，且S为参数为九，1 2 n i i 个体索赔分布为f (x)的复合泊松分布，i = 1,2 m ,贝 S = S + S + S服从参数为九=迟九，且f (x)=迟*f (X)的复合12niX入 Xii=1i=1分布。背景：m可看成m个保险保单组合，S则是这m个保单组合的总索赔额。S 也可以看作同一个保单组合在 m 个不同年度内的总索赔额 证明：设S为参数为九的复合泊松分布，Si的矩母函数为iiiM (t) = exp九(M (t) -1)。由于S ,S ,S为相互独立的随机变量,Si X12 nii因此S的矩母函数为：t艺sM (t) = E(ets) = E(ej)S=He(ets.)
3、= FIm (t)Si i=1i=1=exp(迟九M (t)一迟九)i ii=1i=1= exp (九区 (M, (t) 一 1)/九.设 M (t)=母函数的定义知，M (t)为X入 X.Xi =11f (t)=艺笃f (t)的矩母函数，因此X九Xii=1M (t) = exp(M (t) 1)SX所以S为参数为九，个体索赔分布为f (x)的复合泊松分布。X例：设S服从复合泊松分布，九=10, f (1) = 0.7, f (2) = 0.3，S也1 1X 1X 12服从复合泊松分布，九=15,f (1) = 0.5,f (2) = 0.2,f (3) = 0.2，若S和2X2X2X 21S
4、相互独立，求S = S + S的分布。2 1 2的分布为解：S服从复合泊松分布，九二10 +15二25 , X1025f (k) +X115:f( k)25 X 210150.7 +-0.5 二 0.58252510150.3 +-0.3 二 0.302525f二f二f (3)二 10 0.2 +15 0.2 二 0.12x2525定理：设总索赔额 S 是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔额X的分布f (x)。假设X的取值可以分为m种类型：C , C , C，其X1 2 m中兀=P(X e C)。设N表示索赔发生总次数， N , , N分别表示ii1m .C , C , ,C类型索赔发生的次
5、数，N = N + N + + N。下面结论成1 2m1 2. .m立：CD随机变量N ,N ,N相互独立，N服从参数为九=九兀的泊12miii松分布。 ( 2 ) 设 X (i) 表 示 当 第 i 类 索 赔 事 件 发 生 时 的 索 赔 额 ， 即X(i)= X I X e C，令S = X(i) + + X(),i = 1, m，则 S , , S 都是相互 ii 1Ni1m独立且S服从参数为九=九兀的复合泊松分布，个体索赔额为X(i)。 III例3.13 :设S服从复合泊松分布，九二10, f (1)二0.5,Xf (2)二 0.3, f (3)二 0.2。令 C 二(X 丨 X
6、2),求 X,XXX12的分布， S ,S 的分布。12解：令 p 二 P(X 2)二 0.212则 X (1), X (2) 的分布为Xf (x)Xf(x)X (1)f (x)X10.50.5/Z0.8020.3%030.20%.2设N表示第i类索赔事件发生的次数，则N是泊松分布， ii九二九P(x e C)二 10p。于是计算得至U 九二 10 x 0.8 二 8，九二 10 x 0.2 二 2，iii12因此，S是复合泊松分布，九二8，个体索赔分布为153f (1) = , f (2) =。S是复合泊松分布，九二2，个体索赔分布为X (1) 8 X (2)8 2fX(2)(3)=1。例3
7、.14设索赔次数N服从九=2的泊松分布，个体索赔额的分布 f (x)二O.lx, x二1,2,3,4，计算总索赔额S等于1, 2, 3, 4时的概率。X解:设N表示个体索赔额为i的索赔事件次数，则N.服从参数为航iii的泊松分布，总索赔额S = 1 N + 2 N + 3 N + 4 N其中，123兀二0 . 1K,二0 712,兀0三3利用独立随机变量和的卷积公式得到1234下表。xlNi2N23N34N4以x)00.81870.67030.54880.44930.135310.163750000.0270520.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.
8、092240.0000550.053600.35950.1364例3.15设某保险公司承保医疗保险，X表示一次医疗费用，N表示看病的次数，N服从泊松分布，S = X + X + X表示该医疗保险12N的总费用，设X的分布密度为X250(1 250)0 x 50)。设N表示医疗费用小于等于免赔 1 2 1额的次数，服从参数为九P(X 50) = 100(1-50)2 = 64 的泊松分布。设 X(i)= X I ,2250X 5012S = X + X (1)11 N1S = X + X (2)21 NS表示医疗费小于等于免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承 担。S2表示医疗费大于免赔额的总
9、费用。由于X 二 X I二 50 + (X -50)丨，因此2X 50X 50S = X + X =50N + (Y + Y )2其中 Y = X -50I1N 22 1N 2表示第 i 次看病的索赔额。从上式可以看出，总费i iX. 50.用 S2 分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总索赔额部分，由保险人来承担。我们记总索赔额为s3，则S = Y + Y。Y.的分布331N 2i密度为2 (1- 50 + y) 2 (200 - y) f (y) = f(5 + y) = 250(一 250 丿=250( 250 丿 fY(y) - P(X 50) -(1-皂)2芒250250=-2
10、-(1-丄)200 -因此，E(Y)二200 , Var(Y) = 2(200)2。可以得到总理赔额的期望和方3 9.4 差为E(S )二 E(N )E(Y)二 64(200)二 4266.63 2 3Var(S ) = E(N )E(Y2) = 64(200)2 + 2002) = 426.6+ X N2S2.S3 =48.8% 。8333.3 事实上，总损失 S 可以分解为：S = X（1）+ X + X N11 1 S + 50 N + Y + Y 121一_n 3 18 加入免赔额后，总理赔额比没有免赔额时减少了 8333.3-4266.6其中S4为投保人承担的医疗费用，S3是由保险人
11、来承担索赔额。E(X2)。“S - XuS 的近似分布1、 正态近似定理设个别理赔额分布函数为f (x), u二E(X), u 12(1)如果S是复合泊松分布，参数为九,则当九日的分布趋于标准正态分布。厂 k + r -1、f Pkr 1 1 r丿11 +卩丿11+卩丿r,k = 0,1,2,(2)如果S是复合负二项式分布，参数为r,卩，个别理赔额分布函数为 f (x) ，则S r p uZ 二.ir p u + r p 2u 2的分布在rTa时趋于标准正态分布。证明：我们将利用limM (t) = e；来证明(1)和(2)。对于泊松分 Xra Z布情形，由z二S E(S)二丄聾得到VoT(S
12、)矿、2M (t) = E(exp(t z九ut、 =M ( )expS九 uXu2 2 2由公式(5)知M (t) = expX(M (t) 1)，因此M (t) = expXMzX2-1-由矩母函数的级数展开式Mx(t) = E3 ) =1 + E(X)t + 字t2 +我们可以得到，SX1 1 1u 3t3 +)一 26 占(u )32t即 lim M (t) = e 2。Zrg ZM (t) = exp( 12 +t2当九一t g , M (t) T e ,Z趋于标准正态分布。对于负二项分布，令从而，Z分布在r Ta时S - E (S) =S - E (N) E (X)vVar (S).：E(N)Var(Var(N)E(l再用类似的方法证明Z分布在r时趋于标准正态分布。此处不再叙述。例：(SOA 2001-11 30) The clai
