《闭区间套定理的推广及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《闭区间套定理的推广及应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、闭区间套定理的推广及应用摘要：先介绍了闭区间套定理，再把闭区间套定理进行了推广，并得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集 套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明再讨论 了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具 有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值关键词：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用.闭区间套定理是实分析中的一个重要定理由于它具有较好的构造性，因此 闭区间套定理在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的 理论价值，而且具有很好的应用价值为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭
2、区间套定理的概念出发推广该定理首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格 半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围接着结合一般完备度量空 间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般 完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间 上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广 泛，并且给出了常用度量空间Rn上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明 闭区间套定理的应用1闭区间套定理在Ri的推广闭区间套定理是一个基本的定理所以，在对该定理推广前有必要先回顾一 下闭区间套定理的内容定义1.1设!
3、a ,b (n = 1,2,3,)是R中的闭区间列，如果满足：nn(1) a ,b c a ,b , n 二 1,2,3,；n+1 n+1n n(2) lim(b - a ) = 0 ；nnn s则称a ,b为R中的一个闭区间套，或简称区间套.nn定理1.1 (闭区间套定理)若a ,b 是一个闭区间套，则存在惟一一点g ,nn使得： g wa , b (n = 1,2,3，) 且lim a = lim b.n nnnnsn s推论1.1若g ea ,b (n二1,2,3,)是区间套a ,b 确定的点，则对任n nn n意正数存在自然数N，当n N时，总有a ,b u U(g,8).nn定义1.
4、2设(a ,b ) (n = 1,2,3,)是R中的开区间列，如果满足：nn(1) a a a b b b， n 二 1,2,3,;12nnn-11(2) lim(b - a ) = 0 ；nnn s则称(a ,b )为R中的一个严格开区间套.nn注：定理1.1中的闭区间列的端点有a W a WW a WW b W b WW b12nnn-11如果将闭区间列a , b n二1,2,3, 改成开区间列(a , b )n nn nn = 1,2,3,定理的结论不成立。例如开区间列n = 1,2,3,同样满足定义 1.1 的两个条件，但不存在任何数 g 属于开区间，即n(a ,b )=0。如果开区间
5、列是一个严格开区间列则结论是成立的，即得iii=1 到严格开区间套定理。定理1.2 (严格开区间套定理)若(a ,b )是R中的一个严格开区间套，nn则存在惟一一点g，使得 gw(a ,b )， n = 1,2,3,，且 lima = limb =g .n nnnn sn s证明：由定义，a 是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理,na 有极限，不妨设：lima = g， 且 a g， n = 1,2,3,. nnnnsn s从而存在 gw(a , b ) (n = 1,2,3,).nn最后证明唯一性.假如另有:，使得:e(a ,b ), n二1,2,3,，那么有nn|匚-即 b - a
6、 , n二1,2,3,.在上述不等式两边取极限，有n n|匚一g| Wlim(b 一a ) = 0 .即.n nnT8故原命题成立定义1.3设a , b )(n二1,2,3,)是R中的半闭半开区间列，如果满足:nn(1) a W a W W a W b b n时，有F u F，所以nnmnx , x G F ，n mnp (x , x )W d(F ) T 0(n T s ). n mn即对于任意给定的实数e 0，存在整数N 0，使得当i,j N时，有p (x , x ) 0，存在5 0，当x w (g-8, g+S)时，有f (x)- f (g)|S，即f (g )-8 f (x) f (g ) + 8 令M = max 勺f (g)-8 ,f (g) + 8|，贝I|f (x)| M 由推论1,取n充分大可使a ,b u(
