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1、几个常见大数定律的比较及应用毕业论文 目 录中文摘要 2英文摘要 2一、 引言 3二、 预备知识 3 1.基本定义32.命题3三、几个常见大数定律及其比较4 1.马尔科夫大数定律52.切比雪夫大数定律53.伯努利大数定律54.泊松大数定律65.辛欣大数定律76.几个常见大数定律之间的比较7四、大数定律的应用81.在误差领域中的应用82.在数学分析中的应用83.在保险中的应用94.结语11参考文献 12一.引言 大数定律本来是一个数学概念，又叫作“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说这个定律就是在实验条件不变时，重复试验多次，随机事件的频
2、率以概率为稳定值。比如我们以抛硬币为例，硬币落下后哪面朝上本来是件偶然事件，但当我们抛硬币的次数足够多时就会发现，硬币正面朝上的次数约占总次数的二分之一。从概率的统计定义中可以发现：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近。人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性，这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关而且并不是随机的。深入考虑之后，人人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？什么条件下能够实现稳定性。大数定律在实际研究和生活及学习中又有怎样的
3、应用？这就是大数要研究的问题。二.预备知识 1.基本定义定义1.1 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有 ，则称以概率收敛于，记作 定义1.2 设有一随机变量序列，其数学期望存在，令，若，则称随机序列服从大学定律。2.命题 切比雪夫不等式 设随机变量的数学期望和方差都存在，则对任意常数，有 或 切比雪夫大数定律给出了在随机变量分布不明确的条件下，只利用其数学期望和方差就可对随机变量的概率分布进行估值的方法，这就是该不等式的作用。三.几个常见大数定律及其比较 1.马尔科夫大数定律 设随机变量序列满足条件 ， 且 ，则称服从大数定律。马尔科夫大数定律的使用条件比较宽松，可以运用于多种
4、情形。2.切比雪夫大数定律 设为一列两两不相关的随机变量序列，若每个的方差存在，且有共同的上界，即 ，则服从大数定律。3.伯努利大数定律 设为 重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有伯努利大数定律说明：随着事件的增加，事件发生的频率与其概率的偏差大于预先给定的精度的可能性越来越小，小到可以忽略不计，这就是频率稳定与概率的含义。而且，波努利大数定律还提供了用频率来确定概率的理论依据。例如要估计某产品的不合格品率，则可从这类产品中随机抽取个，当很大时，这个产品中的不合格品的比例可作为不合格品率的估计值。4.泊松定理 设为 重伯努利试验中事件发生的次数，已知在第次试验中
5、出现的概率是 ，则5.辛欣大数定律 设为一独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则 服从大数定律 辛欣大数定律和切比雪夫大数定律告诉我们：算术平均数“趋于”它的数学期望。这一结果对一些实际问题有着重要的指导意义。例如：我们在测量一物体的长度时，常常将次测量结果取其算术平均数，用它作为物体的真是长度。这一做法就可以根据上述结果加以解释。因为，由于种种原因，每次测量都会产生测量误差，这样，测量一物体的长度，可看成一随机变数。6.几个常见大数定律之间的比较 6.1 伯努利大数定律是泊松大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同下重复进行的随机试验中频率的稳定性。而泊松定理表明，当独立随
6、机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性，随着的无限增大，在次独立重复试验中，事件的频率趋于稳定在各次试验中事件出现概率的算术平均值附近。6.2 马尔科夫大数定律的假设条件比切比雪夫大数定律的建设条件弱，同时也不能认为不满足切比雪夫大数定律的建设条件就不能成立大数定律。如下例：设是一相互独立的随机序列，且其分布列如下，则有 从而知不是一致有界的，故不满足切比雪夫大数定理的条件，然而，故有，即满足马尔科夫大数定律条件，从而知服从大数定律。6.3 泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松定理的题设，故满足切比雪夫定律中的条件。6.4 切比雪夫大数定律是马尔科夫大数定律的特例。由切比雪夫大数定律的
7、假设可得：即满足马尔科夫大数定律的条件。可知，泊松定律，伯努利定律，切比雪夫定律都是马尔科夫定律的特例。不过马尔科夫定律不要求随机序列的相互独立性，它较上述三个定律的相互独立性条件大大放宽。四.大数定律的应用 1.在误差领域中的应用 1.1 仪器测量已知量时，设次独立得到的数据为，假设仪器无系统误差，问：当充分大时，是否可取作为仪器测量误差的方差的值？ 解：把作为个独立同分布的随机变量的观察值，则 仪器第次测量的误差的数学期望，设， 则也相互独立服从于统一分布，在无系统误差时，既有 由切比雪夫大数定律，可得：，即:从而当时随机变量以概率收敛于，即当充分大时，可取作为仪器测量误差的方差的值。 根
8、据大数定律，对于随机误差，应有。这说明当测量次数较多时，实际数据的平均值和预测真值的差以很大概率趋向于0，因此，用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的。2.在数学分析中的应用 2.1 计算定积分的近似值 解：为了解这种近似计算的依据，先进行如下分析： 若令为均匀分布的概率密度函数，即则，而函数的数学期望 根据大数定律的应用可对该数学期望值进行估计，即 样本： 故可用 这种近似计算的具体过程是：欲计算的近似值，则应先取样本数列，再求函数数列，以此求出，即作为的近似值。2.2 假设 求其极限。 解： 假设随机变量，在上均匀分布，且相互独立，有 由于独立同分布，所以独立同分布，根据辛欣大数定律知
9、：2.3 在伯努利试验中，事件发生的概率为，若在第次和次试验中都出现，则令；其它情况下，令，证明：服从大数定律 证明：为同分布随机变量序列，其共同分布为： 且，从而，,又当时，所以 又因为 于是有： 即马尔科夫条件成立，故服从大数定律。3.在保险业中的应用 大数定律是保险业运行的重要数理基础，大数定律的运作。可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性转化为风险单位集合的损失的确定性。由于与损失金额的预测具有相关性，大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度和保险经营的稳定性。 3.1 保费的制定 以切比雪夫大数定律为例，该极限定理运用到保险行业，相当于有个投保人或被保险人同时投保了个相互独立的保险
10、标的，用表示每个标的实际发生损失的大小。其中为理论上每个投保人应缴纳的纯保费，为平均每个投保人实际获得的赔款金额，当投保人足够多时，即时，实际赔款金额等于理论上的纯保费，这一定律说明在承保标的数量足够大时，保险人收取的纯保费应与投保人所能获得的赔偿金额的期望值相等。 3.2 计算保险单位数 假设某类保险有100个被保险单位，每个单位的损失概率为，由于一般情况下各个投保单位都是独立的，所以保险损失次数服从二项分布 即，其中。设，根据中心极限定理及分布的相关性质有：，则损失次数在区间这一范围内的概率是，及损失概率以的置信度落在区间之内，这样实际损失变动与保险单位总数比率是，显然出入较大。大数定律告
11、诉我们，在有足够多的标的数时，实际损失结果与预期损失结果的误差将很小。因此，若要减小实际损失的变动的比率，必须增大保险单位数。例如我们将保险单位数增加到，同样取，则可计算出此时这样实际损失变动与保险单位总数比率是，这样就大大降低了比率数，从而更有利于保险公司制定合理公正的费率。那么，又该如何确定保险单位数呢？用表示被保险单位的损失的随机变量，由大数定律及中心极限定理知，当很大时保险的平均损失次数，从而可得的一个置信水平为的置信区间为，实际损失变动与保险单位总数的比率为。若要小于某个具体常数，则可由解出，即可确定最低但为保险数。3.3 降低投保人平均危险值 大数定律建立在“大数”的基础上，即通过
12、承担风险主体的增多，将保险产品承担的风险在更多风险单位中分摊假设投保人承担了个危险相同，相互独立的风险单位，我们用相互独立且同分布的随机变量表示每个保险单位的损失量，对单个被保险人而言，面临的损失是实际损失与期望损失的偏差。用的标准差表示。平均每个被保险人的损失与损失偏差分别为：，这样个被保险人面临的总体损失为：，其标准差为，而将每个被保险人看做单个个体，他们所面临的危险总和是，显然即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和。所以，如果将个被保险人看成一个整体，则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增加而减少。 此外，对于保险来说，大数定律不仅适用于保险标的数量方面，而且亦
13、适用于时间方面。例如，在火灾保险中，某保险人承包了幢楼房，预计其中的一部分将遭受不同程度的损失。然而，火灾发生的次数及楼房受损程度，在任何一段时间内都是不一样的。但经过较长时间的观察，仍可根据大数定律来求得一个正确的估计，得到一定时期的近似损失值。 4.结语 大数定律反映了我们的世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章，毫无规律，难于预测的。但由于大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形志。例如一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度。电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乩而不可预测，但整体看呈现一个稳定的电流强度。在社会、经济领域中，群体中个体的状况千差万别，且变化不定，但一些反映群体状况的平均指标，在一定时期内能保持稳定，或呈现规律性的变化。究其根源，都是由于大数定律的作用 参考文献：1黄清龙，阮宏顺.概率论与数理统计M.北京：北京大学出版社，2005.2杨亚非.概率与数理统计基础M.北京：北京工业出版社，2003.3茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2004.4魏华林，林保清.保险学M.北京：高等
