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1、高二（文科）导数应用题例题：时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出；（2）先建立利润函数模型，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.试题解析：（1）因为时，代入关系式，得， 2分解得. 4分
2、（2）由（1）可知，套题每日的销售量， 6分所以每日销售套题所获得的利润从而. 8分令，得,且在上,，函数单调递增；在上，函数单调递减， 10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 11分所以当时，函数取得最大值. 12分故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用练习题一、单选题1做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 62现有一段长为的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）A.
3、 B. C. D. 二、填空题3传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为_ 4某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_三、解答题5在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经
4、验，潜水员下潜的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 (升）.（1）求关于的函数关系式；（2）求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.6某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水
5、杯的出厂价x(元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值7某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5 000(单位：万元)(1)求利润函数P(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？8某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60x120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽
6、车每小时油耗的最小值9为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： ）满足关系，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值.10现有一张长为，宽为（）的长方形铁皮，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为，体积为.
7、（）求关于的函数关系式；（）求该铁皮容器体积的最大值.高二（文科）导数应用题参考答案1B【解析】设圆柱的底面半径为r,则高，则圆柱的表面积.当且仅当，即r=4时，取等号。要使其体积是64，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B选项.2A【解析】试题分析:设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是米， 则该长方体的体积 ，由V(x)=0，得到x=1，且当0x0；当 时，V(x)0，即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值。所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m.故选A.34【解析】设原来神针的长度为，t
8、秒时神针体积为则，其中。所以.因为当底面半径为时其体积最大，所以，解得，此时，解得，所以，其中，当时，当时，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，所以当时，有最小值，此时金箍棒的底面半径为.445.6【解析】设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15x辆，利润L(x)5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30.由L(x)0.3x3.060，得x10.2.且当x10.2时，L(x)0，x10.2时，L(x)0，x10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元 答案：45.6万元5（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为（升），返回水面
9、用时（单位时间），用氧量为（升），总用氧量.（2），令得，在时， ，在时， ，函数在上单调递减，在上单调递增，此时， 时总用氧量最少.6试题解析：解：(1)设日销售量为s，则s，因为x40时，s10，故10，则k10e40，所以s，故y (x30m)(35x41)(2)由(1)知y10e4010e40.令y10e400，则x31m.当2m3时，y0，所以y在35x41上为减函数，所以x35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5m)元7试题解析：解：(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 700x(460x5 000)10x345x23 240x5 000(xN*，且1x20)(
10、2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9)，由P(x)0，得x12，x9(舍去)当0x0，P(x)单调递增；当x12时，P(x)0，P(x)单调递减当x12时，P(x)取得极大值，也为最大值当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大8试题解析：（1）由题意，当x120时， 11.5， k100. （2）该汽车每小时的油耗为y L，则y (60x120)求导知，函数在区间上单调递增答： 升9试题解析：（1）当时， ，.由题意知， ，即.（2），令，即，.当时， ，当时， ，当时， 取得最小值.所以，当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.10试题解析:（）由题意得，即（）.（）铁皮容器体积 （）. ，当时，即，在上， 恒成立，函数单调递增，此时；当，即，在上， ，函数单调递增，在上， ，函数单调递减，此时.所以
