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1、习题3-1 二维随机变量及其分布1设二维随机变量的密度函数为 求：（1） 常数，（2），（3）解（1）X+y=111（2）（3）1X=y2一口袋中有四个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律与关于X和Y的边缘分布率及。解：XY123101/61/121/421/61/61/61/231/121/601/41/41/21/43设二维随机变量的联合密度函数为： 试求 (1) 系数； (2) 和各自的边缘密度函数； (3) 解（1）（2）(3) 2X=y4求在D上服从
2、均匀分布的随机变量的密度函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域；并写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解：1-1/2Y=2x+15设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域上的均匀分布，试求两种产品需求量的差不超过1000吨的概率. 解：习题3-2 独立性与条件分布1袋中有2个红球，3个白球。现随机地抽取2次，每次抽取一个，定义，分别就有放回和无放回抽样两种情况，求的分布律和关于的边缘分布律，并判断是否相互独立。解 （1）有放回抽样：的分布律和出边缘分布为：、相互独立。（2）无放回抽样：，的分布律和边缘分布为：显然，、不相互独立。2 2 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设
3、甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙命中的次数。试求和的联合概率分布。解：因为与相互独立所以和的联合概率分布律为：3设随机变量在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量在中等可能地取一个整数.求：2时的条件分布律；1时的条件分布律.解： XY 123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/161/4840001/161/161/41/41/41/4（1）故2时的条件分布律12340.50.500（2）故1时的条件分布律为：12340.480.240.160.124设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）系数
4、；（2）；（3）证明X与Y相互独立。解：（1）（2）（3）显然，所以，与相互独立5已知的联合密度函数为 （1）求在的条件下的条件概率密度函数（2）与是否相互独立？说明理由。（3）求解（1）（2）显然，与不相互独立（3）习题3-3 二维随机变量函数的分布1设相互独立，且同服从参数为的泊松分布，即 ，(1) 求的分布律；(2) 求的分布律；(3) 求的分布律。解：（1）（2）（3）2 设相互独立，且具有公共分布函数，求的分布函数。解：设3设随机变量相互独立，其概率密度分别为 ， 求随机变量概率密度函数。解：2x+y=zzz/24设随机变量在正方形上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：先求的分
5、布函数由，故，因此，当时当时当时，故 于是随机变量的概率密度第三章 复习题一 填空题1是二维连续型随机变量，用的联合分布函数表示下列概率：（1）（2）（3）（4）。答案：答案（1）（2）（3）（4） 2随机变量的分布率如下表，则应满足的条件是 12311/61/91/1821/3若相互独立，则。答案 。3设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则的联合分布密度函数为 。答案：4设随机变量相互独立且服从两点分布，则服从 分布 。答案：二项分布5设二维随机变量的概率密度为，则当时，的边缘概率密度函数_。 答案： 二 选择题1设两个随机变量与相互独立且同分布，均服从两点分
6、布 则下列各式成立的是（ ） （A） （C） (B) （D） 答案：C因为 XY0101/92/912/94/92设两个随机变量与的联合分布如下 -1 101/1511/521/53/10则当时，随机变量与独立。（A）（B） （C） （D）答案：C因为：3设两个随机变量X与Y 相互独立且同分布则 （ ）（A） （B） （C） （D） 答案：A4设X和Y 为两个随机变量，且 ，则=( ) （A） （B） （C） （D） 1答案：C，因为5设随机变量与相互独立，且，则仍具有正态分布，其分布为（ ）（A）； （B）; (C) ; （D）答案：D三 将两封信投入编号为1，2，3的三个邮筒。设分别表示投
7、入第1，2号邮筒的信的数目。（1）求的分布律；（2）问是否相互独立？（3）求当时，的条件分布律；（4）求分布律；（5）求的分布律。（6）求第3个邮筒里至少投入一封信的概率解：（1） XY01201/92/91/94/912/92/904/921/9001/94/94/91/9（2）因为（3）故X|(Y=0)012Pk1/41/21/4（4）的分布律：(5) 因为故的分布律为：故的分布律为：四 设 （1）求常数；（2）求关于的边缘概率密度；（3）求；（4）求的分布函数；（5）求的概率密度；（6）求的概率密度；（7）求。解： （1）因为 （2） （3） （4）uvU=vxxoXyuvU=vxyoXy（5） 当时， 当时，即所以（6） 故的概率密度为 故的概率密度为 （7）五 设 （1）证明不相互独立； （2）证明相互独立。证明：（1）由对称性可知因为，所以X和Y不独立（2）=显然所以相互独立，即相互独立。六 设某班车起点站上客人数，每位乘客在中途下车的概率为，且他们中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有个乘客下车的概率；（2）二维随机变量的概率分布；（3）关于的边缘分布。解（1），（2） ，（3）（）即
