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1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系， 它主要包括线线垂直， 线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多， 给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难， 下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1. 数量积：a ba b cos2. 射影公式：向量 a 在 b 上的射影为 a bb3. 直线
2、 AxByC0 的法向量为A, B ，方向向量为B, A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行 两线的方向向量平行线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直面面平行 两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1. 点点距离点 P x1, y1 , z1 与 Q x2 , y2 , z2 的uuur2( y2 y1) 2( z2 z1 ) 2距离为 PQ( x2 x1)2. 点线距离求点 P x0 , y0 到直线 l : Ax ByC 0 的距离：方法：在直线上取一
3、点 Q x, y ，uuuruuurPQ n= Ax0By0 C则向量 PQ 在法向量 nA, B 上的射影nA2B2即为点 P 到 l 的距离 .3. 点面距离求点 P x0 , y0 到平面 的距离：方法：在平面 上去一点 Q x, y ，得向量uuurPQ ，计算平面的法向量 n ，uuur计算 PQ 在上的射影，即为点P 到面的距离 .四、用向量法解空间角1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可， 若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角（二面角）若两
4、面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角， 只要在两条异面直线uuuruuuruuur uuura, b 上各任取一个向量 AA 和 BB ，则角 =或 - ，因为uuuruuur是锐角，所以AA BB,不需要用法向量。cos= uuuruuurAA BB 1、运用法向量求直线和平面所成角Ar设平面的法向量为n =（x,y, 1) ，则直n线 AB和平面所成的角的正弦值为uuurrsin = cos( - ) = |cos| =2uuurrAB ? nuuurrAB
5、? n2、运用法向量求二面角ur uurur uurur uur是所求设二面角的两个面的法向量为 n1 ,n2，则或 - n1, n2ur uur角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定ur uur是所求，还是 -是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离r设异面直线 a、b 的公共法向量为 n(x, y, z) ，在 a、b 上任取一点 A、B，则异面直线a、b 的距离uuurr? n |d =ABcosBAA =| ABr| n |略证：如图， EF 为 a、b 的公垂线段， a 为过 F 与 a 平行的直线，/ EF，交 a 于 A ，在 a、b 上任取一点
6、 A、B，过 A 作 AAuuuurr=uuur rAA?/ n则，所以 BAA（或其补角）uuurr=| AB ? n |*异面直线 a、 b 的距离 d =ABcos BAAr| n |rr ruuur uuur），其中， n的坐标可利用 a、b 上的任一向量 a, b（或图中的 AE , BFr及 n 的定义得rrrr0rnan ?arrrr解方程组可得 n 。nbn ?b02、求点到面的距离求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为r( x, y,1) ，在nuuur r内任取一点 B，则 A点到平面的距离为d =| AB ? n |rrr，n 的坐标由 n 与| n |平面内的两个不
7、共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所rnr述, 若方程组无解，则法向量与 XOY平面平行，此时可改设 n(1,y,0) ，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为rn(x, y,1) ，在直线 a 上任取一点 A，在平面内任取一点B，则直线 a 到平面的uuur r距离 d =| AB ? n |r| n |4、求两平行平面的距离设两个平行设平面、 的公共法向量法为rn(x, y,1) ，在平面、uuur r内各任取一点 A、B，则平面到平面的距离 d =| AB ? n |r| n |三、证明线面、面面的平行、垂直关系ur uur设平面外
8、的直线a 和平面、 ，两个面、 的法向量为 n1 ,n2 ，则uruura/an1aa/n1uruururuur/n1 / n2n1n2四、应用举例：例 1：如右下图 , 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, 已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E 、F 分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1 的正切值 ;(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值 .uur uuur uuur解：（I ）以 A 为原点， AB, AD , AA1 分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0) 、D1(0,3,2)
9、、E(3,0,0) 、F(4,1,0)、C(4,3,2)1uuuruuuruuur于是， DEr(3,3,0), EC1(1,3,2), FD1 (4,2,2)( x, y,2) 与平面 C1DE垂直，则有设法向量 nruuur3x3 y0nDExy1ruuurx3y2z0nEC1rn( 1, 1, 2),uuurQ 向量 AA1(0, 0, 2) 与平面 CDE 垂直 ,ruuurn与 AA1所成的角为二面角 CDE C1的平面角ruuurQ cosurn ? AA11010226uuuur3| n | | AA1 |1 1 40 0 4tan22（II ）设 EC与 FD 所成角为，则11uuuruuurcosEC1 ? FD11(4)3222uuuuruuur| EC1 | |FD1|123222( 4)22222
