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1、第九届华杯赛总决赛二试试题及解答1. 一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈 种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，最内一圈种了4棵李树.已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵.问：桃树和李树一共有多少棵？2. 如右图，在以AB为直径的半圆上取一点 C,分别以AC和BC为直径在 ABC外作半圆AEC和BFC当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴 影部分）AEC和BFC的面积和最大.3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人.问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对 x病的治愈率和对y
2、病x病治好人数理幽的治愈率均低于乙医院的？举例说明.（x病治愈率二）4、完成某项工程，甲单独工作需要 18小时，乙需要24小时，丙需要30小时.现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、 甲、乙、，每人工作一小时换班，直到工程完成.问：当工程完成时, 甲、乙、丙各干了多少小时?5、 求同时满足下列三个条件的自然数 a, b： 1) ab； 2)-.3) a+ b是平方数6. 如图，正方形跑道 ABCD甲、乙、丙三人同时从 A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米若干时间后，甲首次开始看 到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方.从此时刻算起，又经过2
3、1秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发 后三人第一次处在同一位置请计算出正方形的周长的所有可能值.1. 400棵2.当C点在通过圆心且与直径 AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大3.能4.当工程完成时，甲干了 7. 2小时； 乙、丙各干了 8小时5.；匚-二6.正方形跑道的周长是210 米或420米1.解：下图画出苗圃的最里面 3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数 为：4+12 + 20+ 28 +，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40-8= 5,所以共有10圈，最外圈的桃树为4+ 9X 8= 76棵，果(4+76)x10树总棵数为=400 (棵)L 1二J. FJE
4、JU-nxAC2-2 .解：两弯月形面积=11:+1 X ACX BO X ACX BC本题即ACX BC何时有最大值.因为一，当丄；时，“m有最大值，此时 ACX BC有最大值，即 AC= BC时,阴影面积最大A0B3.解：例如，甲、乙医院接收和治愈 x, y病的人数如下表:甲医院x病y病合计接收人数2080100治愈人数14041治愈率5%50%乙医院x病y病合计接收人数8020100治愈人数202040治愈率25%100%1114731k H 4.解：三人各干一小时完成二-:ji , 360-47= 7厂,4731即经过每人干7小时还剩工程的1 -訂）X 7=詔）没有干完，从题目所给的换
5、班规则（每次 3小时，各干1小时），每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同,3113111616116即按乙、丙、甲的顺序，360【,一:-二=1二,360,36014-汀,4丄丄就是说，乙、丙又各干一小时，还剩兰）的工作量，竹）十：:=0.2（小时）即当工程完成时，甲干了 7. 2小时；乙、丙各干了 8小时.5解:可得：ab= 169a + 169b, ab- 169a= 169b,169i16 鮎 i b1+ b a=匚, a+ b= :=八 丨,因为a+ b是平方数，所以b-169是平方数，设b169=L,+ 169;1如169a + a2同理可得 ab- 169b= 1
6、69a, b=二 1匚，a+ b=匚-山二丄-./ ,a- 169是平方数，设 a 169= ：丁，a= J“+169;于是，a+ b = v + 2X 169 +.2X 169= 2X 13X 13,或 2X 169= 2X 1X 169,或 2X 169= 2X 169X 1,因为ab,所以mn, a+ b是平方数，所以，m= 169, n = 1, a= ：丁 + 169=卩+ 169= 169X 170, b=+169= 1 + 169=仃 0.6.解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点.倒退21秒，甲的位置距A点5X21=105（米）,甲与丙相距（5-3 ） X21=42（米）.因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米.所以正方形的边长是105- 1= 10542, 105-2= 52.5 42, 105-3= 35V42.105 米或 52.5 米,周长为 420 米或 210 米
