13 晶体学基础(空间点阵)

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1、1.3 晶体学基础（空间点阵）金属及非金属材料在固态通常都是晶体，它们的许多特性都与其结晶状态有关。因此， 作为材料科学工作者，首先要熟悉晶体的特征及其描述方法。本节将扼要地介绍晶体学的基 础知识，包括以下几方面内容：（1）空间点阵及其描述、晶系和点阵类型。（2）晶体取向的解析描述：晶面和晶向指数。（3）晶体中原子堆垛的几何学，堆垛次序，四面体和八面体间隙。 熟练地掌握以上内容，关键是要多练习、多应用。以上内容不仅是学习材料课程的基础，也 是学习其他许多专业课程（如X射线衍射、电子衍射、固体物理等）的基础。因此，要求学 生对这些内容，能掌握得非常透彻、非常熟练。一、晶体与非晶体1 晶体的定义物

2、质的质点（分子、原子或离子）在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫 晶体。图 1 金属及其他许多材料的长程有序排列2 非晶体 非晶体在整体上是无序的，但原子间也靠化学键结合在一起，所以在有限的小范围内观玻璃的短程有序察还有一定规律，可将非晶体的这种结构称为近程有序。图 2 水蒸气的短程有序3 晶体的特征（ 1 ）周期性 固态物质按其原子或分子的聚集状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶体。晶 体的一个基本特征就是其中的原子或原子集团都是有规律地排列的，这个规律就是周期性， 即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距 离也称为周期。显然，沿不同

3、的方向有不同的周期。非晶体不具有上述特征。在非晶体中原 子（或分子、离子）无规则地堆积在一起。液体和气体都是非晶体。在液体中，原子也处于 相对紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。对于金属液体的结构，我们在学习后面 的内容时将会有进一步的了解。固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体，只是它的物理性质不同于通常的液体。玻 璃是一个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态的固体称为玻璃态。（ 2 ）有固定的凝固点和熔点 晶体还有一些其他的特点。例如，从液体到固态晶体的转变是突变的，有一定的凝固点 和熔点；而从液体到非晶态固体的转变是逐渐过渡的，没有明显的凝固点和熔点。（3）各向异性另外，沿着晶体的

4、不同方向所测得的性能通常是不同的，这称为各向异性或异向性。这 些性能可以是晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学性质等等。晶体的异向 性是因其原子的规则排列而造成的。通常，非晶体是各向同性的。表 1 列出几种常见金属单 晶体沿不同方向测得的力学性能。表 1 单晶体的各向异性4 晶体与非晶体的区别：a. 根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列。b. 晶体熔化时具有固定的熔点，而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围。c. 晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性。5 晶体与非晶体的转化非晶体在一定条件下可以转化为晶体。例如，玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃。 而通常呈晶体

5、的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得到非晶态。对金属来说，因其晶 体结构比较简单，很难阻止其结晶过程，通常得不到非晶态固体，只有通过采用特殊的制备 方法，才可以获得非晶态的金属和合金。二、空间点阵1 空间点阵、阵点实际晶体中，质点在空间的排列方式是多种多样的，为了便于研究晶体中原子、分子或 离子的排列情况，近似地将晶体看成是无错排的理想晶体，忽略其物质性，抽象为规则排列 于空间的无数几何点。这些点代表原子（分子或离子）的中心，也可是彼此等同的原子群或分 子群的中心，各点的周围环境相同。这种点的空间排列称为空间点阵，简称点阵，这些点叫 阵点。既然点阵只是表示原子或原子集团分布规律的一种几何抽

6、象，那么，每个结点就不一 定代表一个原子。就是说，可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点有一群 原子（原子集团）。但是，每个结点周围的环境（包括原子的种类和分布）必须相同，亦即 点阵的结点都是等同点。将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象成纯粹的几何 点称为阵点。阵点在空间呈周期性规则排列，并具有等同的周围环境的模型。2 晶胞从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞，如图3所示。在空间点阵中， 能代表空间点阵结构特点的小平行六面体。整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构 成。3 晶格将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。显然晶胞作三维堆砌就构 成了

7、空间点阵。作许多平行的直线把阵点连接起来，构成一个三维的几何格架称为晶格。图 3 空间点阵及晶胞图 4 是三维空间点阵，它是一个在三维空间内的阵列，由表示原子或原子集团排列规律 的几何点(结点)所构成。可以设想用直线将各结点连接起来，这样就形成了一个空间网络， 这种空间网络称为晶格。显然，在某一空间点阵中，各结点在空间的位置是一定的，而通过 结点所作的空间网络则因直线的取向不同可有多种形式。因此，必须强调指出，结点是构成 空间点阵的基本要素。图 4 三维空间点阵示意图4 空间点阵和实际晶体结构之间的关系图5表示的是空间点阵和实际晶体结构之间的关系。图中的图5(a)和图5(b)都是二维 正方点阵

8、，但二者的晶体结构是不同的，因为围绕每个结点的原子分布不同。同样，图中的 图5(c)和图5(d)都是长方点阵，但二者的结构也不同，图5(e)则是菱形点阵。GWDQ(C心)点阵【门和(1)直方点阵( (O代我斜点，代表原子)图5 二维点阵和晶体结构三、晶胞、晶系和点阵类型1 晶胞的选取原则：（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性；（2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多；（3）当棱间呈直角时，直角数目应最多；（4）满足上述条件，晶胞体积应最小。空间点阵具有周期性和重复性，图 4所示的空间点阵可以看成是由最小的单元平行 六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成，这样的平行六面体称为晶胞。2

9、描述晶胞的六参数 晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各边长度和各边之间的夹角（图6）。晶胞的三条棱AB、AD和AE的长度就是点阵沿这些方向的周期，这三条棱就称为晶轴。图 6 晶胞示意图事实上，采用三个点阵矢量a，b，c来描述晶胞是很方便的。这三个矢量不仅确定了晶 胞的形状和大小，而且完全确定了此空间点阵。只要任选一个结点为原点，以这三个矢量作 平移（即平移的方向和单位距离由点阵矢量所规定），就可以确定空间点阵中任何一个结点 的位置：r = ua+ vb+ wcuvw式中ruv为从原点到某一阵点的矢量，u，v，w分别表示沿三个点阵矢量的平移量，亦即该 阵点的坐标值。3 不同的晶体的

10、差别既然任何晶体的晶胞都可以看成是平行六面体，那么不同的晶体的差别在哪里？差别有 两点：（1）不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。（2）围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能不同。4 七种晶系晶胞的大小显然取决于AB，AD和AE这三条棱的长度a，b和c,而晶胞的形状则取决 于这些棱之间的夹角Q，0和Y。我们把a，b，c，d，0和Y这6个参量称为点阵常数 或晶格常数。按照晶胞的大小和形状的特点，也就是按照6个点阵常数之间的关系和特点， 可以将各种晶体归于如表 2 所示的 7 种晶系。5 14 种布拉菲点阵由 7种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者 说，有多少

11、种可能的结点分布方式。为了回答这个问题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等同点。由于晶胞的角隅、6 个外表面的中心（面心）以及晶胞的中心（体心）都是 等同点，故乍看起来，似乎每种晶系包括4 种点阵，即简单点阵、底心点阵、面心点阵和体 心点阵。这样看来，7种晶系总共似乎可以形成4X7=28种点阵。然而，如果将这28种点 阵逐一画出，就会发现，从对称性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。真正不同的点阵 只有14种布拉菲点阵，如图7所示。按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布 拉菲（A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通常人们所说的点阵就是指布 拉菲点阵。表2 7

12、种晶系晶系点阵常数间的关系和特点实例三斜aMbMc, a 工0 工孑工90KCrO2 7单斜aMbMc, a =0 =90工了或aMbMc, a 二=90 工00 S,CaSO 2H O142止交aMbMc, a =0 =了 =90a -S,Ga, Fe C3四方a=bMc, a =0 =$=900 -Sn,TiO2立力a=b=c, a =0 二 F =90Cu, Al, a -Fe, NaCl八方a=bMc, a =0 =90，了 =120Zn,Cd,Ni-As菱方a=b=c, a =0 二 了 工 90As,Sb,Bi,方解石布拉菲点 阵晶系布拉菲点阵晶系简单三斜三斜简单八方八方简单单斜

13、底心单斜单斜简单菱方菱方简单正父 底心正父 体心正父 面心正父简单四方 体心四方四方正父简单立方 体心立方 面心立方立力(a) 简单三斜点阵(b) 简单单斜点阵(c) 底心单斜点阵(d) 简单正交点阵(e) 底心正交点阵(f) 体心正交点阵(g) 面心正交点阵(h) 六方点阵(i) 菱方(或三角)点阵(j) 简单正方(或四方)点阵(k) 体心正方(或四方)点阵(l) 简单立方点阵(m) 体心立方点阵(n) 面心立方点阵图 7 7 种晶系的 14 种空间点阵如果在某种晶胞的底心、面心或体心放置结点而形成一种“新”的点阵，那么这个“新” 点阵必然包含在14种点阵中，或者可以连成14 种点阵中的某一

14、种，且不改变对称性。下面 举两个例子。体心单斜点阵是不是一个新的点阵？从图 8 可知，体心单斜点阵晶胞为 ABCD-EFHG通过重新连接结点，可以连成底心单斜点阵，其晶胞为JABD-KEFG因而体心 单斜点阵不是新的点阵。(a)(b)图 8 体心单斜点阵可以连成底心单斜点阵在简单六方点阵晶胞上、下底面的中心分别添加结点后是否形成一个新的点阵底心 六方点阵？图 9 在简单六方点阵上、下底面添加结点后形成简单单斜点阵（大圆是原有的结点，小圆是新加的结点）空间点阵虽然只可能有14 种，但晶体结构则是无限多的。这是因为空间点阵的每个阵 点上，都可放上一个“结构单元”，这个结构单元可以由各种原子、离子、

15、分子或原子集团， 分子集团所组成，由于“结构单元”是任意的，故晶体结构为无限多Cu, NaCl, CaF2具有 不同的晶体结构，但都是属于面心立方点阵，如图10所示。NaCl结构中，每个阵点,，包含 一个Na+和一个Cl-。而CaF可看成每阵点包含两个F-和一个Ca2+。图 10 具有相同点阵的晶体结构四 原胞1 原胞体积最小的晶胞通常称为原胞。布拉菲点阵的原胞只含一个结点，故原胞的体积就是一 个结点所占的体积。2 原胞与晶胞的关系图11和图12分别画出了 fee和bee点阵的原胞，以及它和晶胞的关系。从图看出，fee 和bee的晶胞都是咼度对称的立方体，但体积则不是最小。fee晶胞的体积（a3）是4个结 点所占的体积，而bee晶胞的体积（a3）是两个结点所占的体积。它们的原胞都只包含一个 结点，故fee和bee的原胞体积分别为03/4和閔2。可见原胞的体积的确是最小，但却没 有反映立方点阵的对称