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1、数列概念学问清单1数列的概念（1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在其次个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：假如数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列
2、的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1起先依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列。（5）递推公式定义：假如已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）
3、数列的前项和与通项的关系：课前预习1依据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？3（1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。4设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线相互平行，随意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则；当时， （用表示）。5在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.视察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。等差数列学问清单1、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第
4、项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。3、等差中项的概念：定义：假如，成等差数列，则叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。4、等差数列的前和的求和公式：。5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 如：，；，；（3）在等差数列中，对随意，；（4）在等差数列中，若，且，则；说明：设数列是等差数列，且公差为，（）
5、若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇；。6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或。课前预习1设是数列的前n项和，且2，则是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D3若一个等差数列前3项的和为34，最终3项的和为146，且全部项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项4设数列是递增等差数列，前三项的和
6、为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65设是等差数列的前n项和，若，则A B C D6设为等差数列，为数列的前n项和，已知S77，S1575，为数列的前n项和，求。7已知数列是等差数列，b1=1，b12+10=100.（）求数列的通项；（）设数列的通项（1+），记是数列的前n项和，试比较与1的大小，并证明你的结论。8设（nN*）是等差数列，是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）0 70 9S56与S7均为的最大值9等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260等
7、比数列学问清单1等比数列定义一般地，假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（留意：“从其次项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项假如在中间插入一个数，使成等比数列，则叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n项和公式一般地，设
8、等比数列的前n项和是，当时， 或；当1时，（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）留意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应探讨的状况。5等比数列的性质等比数列随意两项间的关系：假如是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。若数列是等比数列，是其前n项的和，则，成等比数列。如下图所示：课前预习1在等比数列中,则 2和的等比中项为( ) . 3 在等比数列中，求，4在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 5. 在等比数列，已知，求.6在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）A
9、B C D7设，则等于（ ）AB C D8设等比数列的前n项和为，若S3S62S9，求数列的公比q；9在各项都为正数的等比数列中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18910在等差数列中，若a100，则有等式a12+12+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列中，若b91，则有等式 成立。数列的通项公式与求和学问清单1数列求通项与和（1）数列前n项和与通项的关系式： 。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：(1)+(12)+(a2a1)1；归纳、猜想法。（3）数列前n项和重
10、要公式：1+2+(1)；12+22+2(1)(21)；13+23+3=(1+2+)22(1)2；等差数列中，；等比数列中，；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即(1)f(n)，然后累加抵消掉中间的很多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，须要驾驭一些常见的裂项，如：、=、nn！=(1)!n!、1r11r、=等。错项相消法对一个由等差数列与等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求。数列求通项与和的方法多种多样，要视详细情形选用合适方法。通项分解法：2递归数列数列的连续若干
11、项满意的等量关系(12,)称为数列的递归关系。由递归关系与k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由1=21，与a1=1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。课前预习1已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。2求。3设a为常数，求数列a，2a2，3a3，的前n项和。4已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。5求。6设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：7求数列1，
12、3+5，7+9+11，13+15+17+19，前n项和。 典型例题一、有关通项问题1、利用求通项：数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？变式题1、设数列的前n项和为2n2，求数列的通项公式；变式题2、数列的前n项和为，且a1=1，1，2，3，求a2，a3，a4的值与数列的通项公式 变式题3、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列2、解方程求通项：在等差数列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知.变式题1、是首项，公差的等差数列，假如，则序号等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703、待定系数求通项：写出下列数列的前5项：（1）变式题1、已知数列满意求数列的通项公式；4、由前几项猜想通项：依据下面的图形与相应的点数，在空格与括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1）（4）（7）（ ）（ ）变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； . 变式题2、视察下列各图，并阅读下面
