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1、电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”江苏省特级教师 江苏省丰县中学 戴儒京所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。1. 什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动(非匀变速运动)时，可考虑 用微元法 解题。2. 关于微元法。在时间At很短或位移比X很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动， 运动图象中的梯形可以看作矩形，所以 vit = ix , IvM = 1&二As。微元法体现了微分思 想。3. 关于求和送。许多小的梯形加起来为大的梯形，即送As = AS，(注意：前面的s为小写， 后面的S为大写)，并且送Av = v - v，当末速度v二0时，有
2、送Av = v，或初00速度V0=0时，有2 Av =v，这个求和的方法体现了积分思想。4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理，都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。 对于使用老教科书的地区， 这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了， 因为课程标准教科书把动量的内 容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割一BLv磁感线运动，产生感应电动势为E=B
3、Lv，感应电流为1二，受安培力为R2 2B LF =BIL =v ,因为是变力问题，所以可以用微元法R1只受安培力的情况例1如图所示，宽度为L的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有 竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体棒从高度为h的斜轨 上从静止 开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S而停下。(1) 求导体棒刚滑到水平面时的速度 v ；0(2) 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v与在水平导轨上滑行的距离x的函数关系，并画出v - X关系草图。(3)求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度v、10 S/4 S/
4、2 例题图解：(1)根据机械能守恒定律，有mgh=mv2(2)设导体棒在水平导轨上滑行的速度为安培力的方向与速度用微V方向相反。元法，安培力是变力,设在一段很短的时间V时，受到的安培力为f = BIL =B2L2 V ，R加内，速度变化很小，可以认为没有变化,所以安培力可以看做恒力,根据牛顿第二定律，加速度为B八v,很短的时间mRAt内速度的变化为AV = at =2 2B L丄由vAt，而VAt二Ax,那么在时间t内速度的变化为mR也 V =2(-因为 xmRB 212以 AV = (一 ) ”XmRV = V +SV0B2L2XmR2.既受安培力又受重力的情况例2 2010年南京市高考模拟
5、题如图所示，竖直平面内有一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形线框在竖直向下的匀强重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度乂水平抛出，磁场方向与线框平面垂直,磁场的磁感应强度随竖直向下的 Z轴按B = B +kz得规律均匀增大，已知重力加速度为0求:(1)线框竖直方向速度为Vj时，线框中瞬时电流的大小；线框在复合场中运动的最大电功率;若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达v所经历的时间为t，那么，线框在时间t内2的总位移大小为多少?解：（1）因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为2 e(B2 - B1)LV1kLiR2）当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大mg = (
6、B 22 2 Bi) IL(B2 -Bi) L Vmi所以VmgRmk2L42RP =mgvk2L4m（3）线框受重力两个力，其中重力mg为恒力，安培力2 2(B2 -Bi) L Vzk2L4Vmmk2L4 V 为变力，我们把线框的运动分解为在重力作用下的运R动和在安培力作用下的运动。在重力作用下，在时间 t内增加的速度为（Av） i = gt,求在安培力作用下在时间t内增加的速度为（iv）用微元法，设在微小时间At内，变力可以看做恒力，变加速运动可以看做匀加速运动，加24k L Vz At,而 VzAt ,所以 mR24速度为k L Vz，则在At内速度的增加为也v mR在时间t内由于安培力
7、的作用而增加的速度(因为增加量为负，所以实际是减小)为(v)2Z Az，所以(Av) 2 = mRmR再根据运动的合成，时间t内总的增加的速度为(Av), +ev) 2= gt -mRk2L4从宏观看速度的增加为Jv； -v0，所以gt -.Z= Jv： - V,得线框在时间t内的总mR位移大小为Z=mR(gt_V0) oJ2从例题可以看出，所谓微元法是数学上的微积分理念在解物理题中的应用 . 3.重力和安培力不在一条直线上的情况 例3. 2008年高考江苏省物理卷第 15题如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面
8、垂直，磁场区域的宽度为di,间距为d2.两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度 为g）若a进入第2个磁场区域时，场区域过程中增加的动能若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁 Ek；b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时， b又恰好进入第2个磁场区域.且a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均 相等求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q;对于第问所述的运动情况，求 a穿出第k个磁场区域时的速率V.磁场区域,.3B3磁场区域5 B 3dt炉di磁场区域1B 、二,棒磁场区
9、域2B I,解：（1）因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得AEk = mgd 2n0设导体棒刚进入无磁场区时的速度为v,刚离开无磁场区时的速度为v，即导体棒刚,2进入磁场区时的速度为在磁场区域有:在无磁场区域:解得:72，刚离开磁场区时的速度为 v1, 由能量守恒得:1mvmvt212 mv2212+Q =一mv2 +mgd t sin o2= -mv:+ mgdsin 62Q = mg(di 卄 2)sin 6用微元法设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为在无磁场区域有： 7 Vt = gt sin 62tV
10、i且平均速度:2在有磁场区域，对a棒：F =mg sin0 - BIl且: I吕2R解得：F =mgsin 0 B_rv2 22R因为速度v是变量，用微元法根据牛顿第二定律，在一段很短的时间At内Av =FAtm则有无 iv=Sgsi2mR J因为导体棒刚进入磁场区时的速度为v ，刚离开磁场区时的速度为 vi ，所以Z Av hVt V2 ， Z vit udt ， Z At=t、B 2|2所以：比一 V2 二gtsin 0d21L 2 . 2 ，B I d18mR2mR联立式，得Vt = 4mgRd 2 sin 0 B I d1原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程:2
11、 2代入得:B I d1t = 4 mgR sin Q代入得:8mgd R sin 0v +V2-i 2 2 2B I dii+得: Vi4mgRd 2fB2I2d1。 2 2sin 0B I d)a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于v .所以12 24mgRd 2 B l di2iv = 一sin 0B l dt8mR(注意：由于a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任场，强度B=1T，每一条形磁场区域的宽 度及相邻条形磁场区域的间距均为. J . D ii it个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K
12、个磁场区”，对本题解题没有特别意义。)练习题 练习题1. 2007年高考江苏省物理卷第 18题 如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁竖直方向磁场区域足够长，磁感应 d=0.5m，现有一 边长l=0. 2m、质量m=0.1kg、电阻R= 0.1 Q的正方形线框P wy aMNOP以vo=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平 进入磁场，求(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小解：(1 )线框MN边刚进入磁场时，感应电动势E -Blv =1.4V,感应电流。(2)水平方向速度为 0，12Q = mv = 2.45 J0(3) 用“微元法”解2I =e=14A，受到安培力的大小F = BI
13、l =2.8N R线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势E=Blv，感应电流I二旦0R受到安培力的大小F二BIl，得2 2B l vF =R在tT At时间内，由牛顿定律:求和，送(d)vd =送Av，mRB lx = Vo o mR解得xmv R1 .75=厂2-0 =1.75 m ，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数 n= =4.375 ，取整B l0.4数为4。练习题2.2009年高考江苏省物理卷第 15题如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且I*F。(2) 线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中 产生的焦耳热Q。IIIK IIIIII(3)
14、 线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。电阻忽略不计，导轨平面的倾角为a。条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为 方向与导轨平 面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“占”型装置。总质量为m,置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产 生，图中未画出）。线框的边长为d（ d cL），电阻为R,下边与磁场区域上边界重合。将装置由 静止释放, 导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。 导体棒在整个运动过程中始 终与导轨垂 直。重力加速度为g。求：（1） 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热线框第一次穿越磁场区域所需的时间 t1 ；经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离X。0召作用在线框的安培力（第！5題图）m【
