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1、 北京市朝阳区20xx-高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 20xx.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则集合等于A. B.C. D.2.已知命题：，；命题：，.则下列判断正确的是A是假命题 B是真命题C是真命题 D是真命题3. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是开始k=1,i=1结束i=i+2i5?输出k是否k=ki A.120 B.105 C.15 D.5第3题图4.曲线与
2、直线及轴所围成的图形的面积是A. B. C. D. 5.设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是若，则有；若存在实数，使得，则；若，则存在实数，使得. A. B. C. D. 6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.40007.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函
3、数（其中 ，）， 302010Ot/hT/68101214第7题图则估计中午12时的温度近似为（ ）A. 30 B. 27 C.25 D.24 8.设函数满足下列条件：（1）对任意实数都有；（2），.下列四个命题：； ； ；当，时，的最大值为.其中所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量满足，且，则向量的坐标是_.10.已知， ，则的值是_;的值是_. 11.若 是奇函数，则的值是_.12.已知等差数列中，为其前项和.若，,则公差_；数列的前_项和最大.13.已知，
4、满足条件若目标函数(其中)仅在点 处取得最大值，则的取值范围是 .14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔和.已知从塔的底部看塔顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为 ；塔的高为 m.第14题图 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数（）的图象经过点.（）求函数的解析式；（）求函数的最小正周期和单调递减区间.16. （本小题满分13分）如图，在中，为钝角，为延长线上一点，且（）求的大小；（）求的长及的面积17. （本
5、小题满分13分）在递减的等比数列中，设为其前项和，已知，.()求，；（）设，试比较与的大小关系，并说明理由.18. （本小题满分14分）已知函数.()求函数的单调区间;（）若在上是单调函数，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质.()若，判断是否具有性质，说明理由；（）若函数具有性质，试求实数的取值范围.20. （本小题满分13分）对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，则称是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”.()若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的； （）若，其中，是的控制数列，试用表示的值；()
6、在的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和. 北京市朝阳区20xx-高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷答案（理工类） 20xx.11一、选择题（满分40分）二、填空题（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分）（15）（本小题满分13分）解：（）由函数的图象经过点，则.解得.因此. .5分 （）.所以函数的最小正周期为.由，.可得，.因此函数的单调递减区间为，.13分 （16）（本小题满分13分）（）在 中， 因为，由正弦定理可得，即， 所以因为为钝角，所以.所以 6分（）在 中，由余弦定理可知，即，整理得
7、在 中，由余弦定理可知，即，整理得解得因为为钝角，所以.所以所以的面积.13分 （17）（本小题满分13分）()由已知可得，解得或.由上面方程组可知，且已知数列为递减数列,所以.代入求得, 则. .6分 （）依题意，；,由于函数在定义域上为增函数，所以只需比较与的大小关系，即比较与的大小关系，=,由于,即,所以 .即，即 .13分 18. （本小题满分14分）() 的定义域为.（1）当时，则，时，为增函数；（2）当时，由得，或，由于此时，所以时,为增函数，时，为增函数；由得，考虑定义域，当，为减函数，时，为减函数；（3）当时，由得，或，由于此时，所以 当时，为增函数，时，为增函数. 由得，考虑
8、定义域，当,为减函数，时，为减函数.综上，当时，函数的单调增区间为,.当时，函数的单调增区间为，,单调减区间为，.当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，.7分 （）解：当时，由() 可得，在单调增，且时.当时，即时，由() 可得，在单调增，即在单调增，且时.(3)当时，即时，由() 可得，在上不具有单调性，不合题意.(4)当，即时，由() 可得，在为减函数，同时需注意，满足这样的条件时在单调减，所以此时或.综上所述，或或.14分 19.（本小题满分14分）() 具有性质.依题意，若存在，使，则时有，即，.由于，所以.又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以 具有性质5分（）依题意，若函数具有性
9、质，即方程 在上有且只有一个实根.设，即在上有且只有一个零点.解法一：(1)当时，即时，可得在上为增函数， 只需解得交集得.（2）当时，即时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（）时，在上有且只有一个零点，符合题意.()当即时，需解得交集得.()当时，即时，需解得交集得. (3)当时，即时，可得在上为减函数 只需解得交集得.综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或14分 解法二：依题意，（1）由得，解得或.同时需要考虑以下三种情况：(2) 由解得.(3)由解得不等式组无解.（4）由解得解得.综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或14分 20. （本小题满分13分）(); ; .3分 （）因为，所以.所以当时，总有.又，.所以.故时，总有.从而只需比较和的大小.当，即，即时， 是递增数列，此时对一切均成立. 所以.当时，即，即时， ，. 所以 .综上，原式 .9分 ().首项为1的数列有个；首项为2的数列有个；首项为3的数列有个；首项为4的数列有个；所以，控制阶数为2的所有数列首项之和. 13分
