《湖北省九师联盟2024届高三下学期3月质量检测数学试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省九师联盟2024届高三下学期3月质量检测数学试卷(含答案)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖北省九师联盟2024届高三下学期3月质量检测数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知，若，且，则a的取值范围是A.B.C.D.2已知复数，且，其中a，b为实数，则( )A.B.C.D.43在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展.为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型进行估计.其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，为初始值（单位：万辆）.若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么
2、2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：，）( )A.62万B.63万C.64万D.65万4有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )A.12B.14C.22D.245已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为( )A.B.C.D.6已知函数，则满足不等式的x的取值范围为( )A.B.C.D.7如图，四边形为正方形，平面，则三棱锥的体积为( )A.12B.6C.D.8已知直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，且，动点C满足，则当k，m变化时，点C到
3、点的距离的最大值为( )A.B.C.D.二、多项选择题9若，则( )A.B.C.D.10设，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线，的斜率，则( )A.存在点P，使得B.存在点P，使得C.存在点P，使得D.存在点P，使得11已知函数，则( )A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.的值域为三、填空题12已知向量a，b满足，则a在b上的投影向量的坐标为_.13已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率是_.四、双空题14在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，平分交于D，则面积S的最小值为_；若
4、，则的面积为_.五、解答题15记为公比不为1的等比数列的前n项和.（1）求；（2）设，由与的公共顶从小到大组成数列，求的前n项和.16如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，M，O分别为，的中点，且，N在棱上，且满足，连接.（1）求证：平面；（2）设，求直线与平面所成角的正弦值.17为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分k的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中.综合得分k的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样
5、的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：若从乙型号减排器中随机抽取4件，记X为其中二级品的个数，求X的分布列及数学期望；从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？18已知抛物线，是x轴下方一点，A，B为C上不同两点，且，的中点均在C上.（1）若的中点为Q，证明：轴；（2）若P在曲线上运动，求面积的最大值.19记函数在D上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在D上具有性质M.（1）判断函数（且）在区间上是否具有性质M？并说明理由；（2）设a，b均为实常数，若奇函数在处取得极值，是
6、否存在实数c，使得在区间上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）设且，对于任意的，不等式成立，求k的最大值.参考答案1答案：A解析：由题意得且，解得.故选A.2答案：C解析：因为复数，a，b为实数，所以，所以，解得，所以.故选：C.3答案：C解析：根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，则2031年底该省新能源汽车的保有量为，因为，所以，.故选：C.4答案：B解析：按A工厂接收的女生人数分类，第一类：A工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，再把剩余的3人分为两组，和B，C两工厂进行全排列，有种选择，故有种分配方法；第二类：A工厂
7、接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，有种分配方法.综上，不同的分配方法有种.故选：B.5答案：A解析：在棱长为2的正方体中构造校长为的正四面体，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则.故选A.6答案：D解析：由，得的定义域为，又，故为偶函数，而当时，易知单调递增，而对于，在上恒成立，所以在上也单调递增，故在上单调递增，则由，得，解得或.故选：D.7答案：B解析：如图所示，连接交于点M，连接，因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为，过F作于G，可得四边形为矩形，则，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以.故选：B.8答案：B解
8、析：由，得，由，得，由，得，设，则，即，因此点C的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，即有，则，代入，整理得：，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点C到点的距离的最大值，所以最大值为.故选：B.9答案：ACD解析：，又，所以，所以，即，故A正觕；当，时，故B错误，又，所以，所以，即，故C正确因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.故选ACD.10答案：ABD解析：由已知得：，对于A，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，A正确；对于B，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点P使得，B正确；对于C，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，又由可
9、得，解得，与矛盾，C错误；对于D，由已知，因为，而，所以，所以存在点P，使得，D正确.故选：ABD.11答案：BCD解析：因为，所以为周期函数，但最小正周期不是，故A错误；，所以的图象关于直线对称，故B证确；因为，所以，当时，因为且，则，故，此时，所以在上单调递增，故C正确；由于为周期函数，且是的一个周期，只需求出在上的值域，即为在R上的值域，当时，因为且，则，故，此时，所以在上单调递琙，所以当时，又因为，所以，因此的值域为，故D正确.故选BCD.12答案：解析：因为，所以，则a在b上的投影向量为.13答案：解析：由双曲线的定义得:，所以，所以，因为，（1）当即时，当且仅当时等号成立，所以此时
10、，即，不符合题意；（2）当即时，当且仅当时等号成立，所以此时，解得，符合题意.14答案：；/解析：由题意，平分交于D且，可得，即，整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值，因为，即，又因为，所以，即，因为，解得，因此.故答案为：；.15答案：（1）；（2）是首项为2，公比为4的等比数列；解析：（1）设的公比为，因为，所以，所以,解得.又，解得.故.（2）因为，又是首项为-1，公比为-2的等比数列，所以是首项为2，公比为4的等比数列，所以.16答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：连接，如图所示.在中，因为M，O分别为，的中点，所以G为的重心，所以，又，所以，又平面，平
11、面，所以平面.（2）连接，因为为等边三角形，O为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，平面，所以，.因为为等边三角形，O为的中点，所以.以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，所以，.设平面的法向量，则令，解得，所以平面的一个法向量，.设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17答案：（1）（2）分布列见解析，；乙型号解析：（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，按等级用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为（件），记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件A，则.（2）由已知及频
12、率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，由题意，X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，所以，分布列如下表：01234所以；由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：；乙型号减排器的利润率的平均值：；，又，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.18答案：（1）证明见解析（2）24解析：（1）设，则的中点在抛物线上，所以，化简得，同理由的中点F在抛物线上可得，因为，所以a，b是关于x的一元二次方程的两个不等实根，所以，所以的中点Q的横坐标为，它与P的横坐标相同，所以轴.（2）不妨设，则，由轴，得，因为P在曲线上运动，是x轴下方一点，所以，且，所以
13、，因为的中点Q的纵坐标为，所以，又，所以，令，因为，所以，所以，因为在上为增函数，所以当时，取最大值.19答案：（1）不具有，理由见解析（2）存在，（3）3解析：（1）令，则，当时，；当时，所以当时，函数在区间上具有性质M；当时，函数在区间上不具有性质M.（2）因为，所以，因为在处取得极值，且为奇函数，所以在处也取得极值，则，解得，,所以，可得，当时，令，解得；令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，所以，当时，恒成立，所以，存在实数c，使得在区间上具有性质M，且c的取值范围是.（3）因为，所以，即，令，则，令，则，当时，在区间上单调递增，又因为，所以存在，使，因为当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为，由，有，所以，因为，所以，又因为恒成立，所以，因为且，所以k的最大值为3.
