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1、Word文档高考数学解答题专题函数与导数 高考数学解答题专题-函数与导数 2.（辽宁卷22）（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x = -+ （）求f(x)的单调区间和极值； （）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a 的解集为（0，+）若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由 本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础学问，考查综合利用数学学问分析问题、解决问题的力量满分14分 解：（）22 1ln 11ln ()(1)(1)1(1)x x f x x x x x x x = -+=-+ 2分 故当(01)x ，时，()0
2、f x ， (1)x +，时，()0f x +， 故关于x 的不等式()f x a 的解集为(0)+， 10分 （）当0a 时，由ln 1()ln 11x f x x x ?=+ ?+? 知ln 21(2)ln 1122n n n n f ? =+ ?+? ，其中n 为正整数，且有 22 211ln 11log (1)2 22n n n n a e n e ? ?+- ? 12分 又2n 时，ln 2ln 2ln 22ln 2 (1)121(11)12 n n n n n n n n =+- 取整数0n 满意2 02log (1)n n e -，04ln 2 1n a +，且02n ， 则00
3、00ln 21(2)ln 112222 n n n n a a f a ? ?= +时，关于x 的不等式()f x a 的解集不是(0)+， 综合（）（）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0)+，且a 的取值范围为(0-， 14分 1.已知函数)(ln )(R a x a x x f += （）求)(x f 的极值； （）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间,0(2 e 上有公共点，求实数a 的取值范围。 1解：（1）2 ) (ln 1)(),0()(x a x x f x f +-= +的定义域为 令a e x x f -=10)(得 当)(,
4、0)(,),0(1x f x f e x a -时是增函数 当)(,0)(,),(1x f x f e x a a ，由（）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在 ,(21e e a -上是减函数 11()()a a max f x f e e -= 又当,(.0)(,0(,0)(,2e e x x f e x x f e x a a a -a a a 所以又 （ii ）当121-a e e a 即时，,0()(2e x f 在上是增函数， 2 222)(,0()(e a e f e x f +=上的最大值为在 所以原问题等价于 .2,122 2 -+e a e a 解得 又1-a
5、 ，无解 2.已知函数)1ln()ln(1 ) ln()(+-+= x ax x ax x f , ),0(R a a （）求函数()f x 的定义域； （）求函数()f x 的单调区间； （）当a 0时，若存在x 使得()ln(2)f x a 成立，求a 的取值范围. 2解：（）当0a 时函数()f x 的定义域为),0(+； 当0 （）111) 1() ln(1 )(2 +-+-+=x x x ax x x x f 2 22) 1() ln()1()1()1()ln()1(+-=+-+=x ax x x x x x ax x x 令()0f x =时，得ln 0ax =即1 x a = ，
6、 当0a 时，1(0,)x a 时()0f x ，当1(,)x a +时，()0f x 时，函数的递增区间为1(0,)a ，递减区间为1(,)a + 当10a -， 故当10a -， 故当1a 时，函数的递增区间为1(0,)a ;单调递减区间为1(,)a + 若存在x 使得()ln(2)f x a 成立，只须1()ln(2)f a a ， 即0 11ln()ln 2201112 a a a a a a a a a ?+? ?对任意(1,)x +恒成立求实数m 的取值范围(其中e 是自然对数的底数) 4解: (1) 由已知可得C=0, ,ln )(,1)(2x x x f x x x g =+=
7、 2ln 1 ()ln x f x x -= , 令()0f x =,得x e =列表如下: x (0,1) (1,)e (,)e + ()f x - - + ()f x 单调减 单调减 单调增 所以()f x 的单调增区间为(,)e +,单调减区间为(0,1)和(1,)e (2)在x m e x 两边取对数,得ln x m x 而1x 所以ln x m x b 时，推断函数()f x 在定义域上的单调性； （）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （）若1b =-,试利用（II ）求证：n 3时，恒有 () 211 ln 1ln n n n n - +-=+
8、-=+-=x x b x x b x x x b x x f 当2 1 b 时， ()0f x ，函数()f x 在定义域),0(+上单调递增 （2） 由（）得，当1 2 b 时，/()0f x ,函数()f x 无极值点 当1 2 b -+-+-=x x x x h （x x x x h 1 11)( -= -=则 2 1 ln )1ln(1 3 1 )11ln(ln )1ln(0 )1 1ln(n 1 )1()11( 111 3)(),11)( 0)( 1n n n n n n n n n n h n h n n x h x x x h x h x -+-+时恒有综上述可知即时为增函数 时
9、处连续在，又时， 6.已知函数2 2 1 ()ln(1),().1 f x x g x a x =+= +- （1） 求()g x 在P g 处的切线方程;l （2） 若()f x 的一个极值点到直线l 的距离为1，求a 的值； （3） 求方程()()f x g x =的根的个数. 6解：（1） 22 2()(1) x g x x -= -Q g =- 且1g a =+ 故()g x 在点P g 处的切线方程为：50y a +-= （2）由 2 2()01 x f x x = =+得0x =， 故()f x 仅有一个微小值点(0,0)M ，依据题意得： 513 a d += 2a =-或8a =- （3）令2 21 ()()()ln(1)1 h x f x g x x a x =-=+- 2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ? = +=+?+-+-? 当0,1)(1,)x ?+时， ()0h x 当(,1)(1,0)x -?-时， ()0h x 时，即1a 时，原方程有4个根 1
