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1、浅谈数学思想方法及其在教学中的渗透桃江县教研室 刘桂元数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。初中数学阶段所涉及的基本的数学思想主要是函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想；基本方法主要指待定系数法、消元
2、法、配方法、换元法、图象法等。由于数学方法在教材中大都有具体陈述，而数学思想却是隐含在知识系统之中，这为强化数学思想方法带来了一定困难。为此，下面我想谈谈什么是函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想及如何在教学中渗透这些数学思想方法。一、基本的数学思想的本质1、函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是中考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系
3、和发展角度拓宽解题思路 和函数有必然联系的是方程,如方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的
4、目的.在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系,要总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律.在解题中,充分、合理地运用函数与方程的思想方法,会产生意想不到的效果.函数是一个透明与不透明范畴的概念,有了函数,就可以在只知道要实现的功能的情况下调用该函数,而不需要知道具体的对应关系.要解决这个对应关系就是这个函数内部所要做的.方程是建立等价的关系,由这个或这些等价关系做出进一步推断,与函数有质的区别.2、转化与化归思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式。转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段
5、或策略。初中数学中运用转化思想，具体表现在以下三个方面:(（1）把新问题转化为原来研究过的问题，如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法；二元方程转化为一元方程等。(（2）把复杂的问题转化为简单的问题，新问题用已有的方法不能或难以解决时，建立新的研究方式如引进负数，建立数轴；变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程，等等。3、分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象，为了研究的需要，根据对象本质属性的相同点和差异性，将对象区分为不同种类，通过研究各类对象的性质，从而认识整体的性质的思想方式。在分类讨论中要注意标准的同一性，即划分始终是同一个标准，这个标 准必须是科学合理的；分域的互斥性，
6、即所分成的各类既要互不包含，又要使各类总和等于讨论的全集；分域的逐级性，有的问题分类后还可在每类中继续分类。运用分类讨论思想指导数学教学，有利于学生归纳、总结所学的数学知识，使之系统化、条理化，并逐步形成一个完整的知识结构网络，这有利于学生严密、清晰、合理地探索解题思路，提高数学思维能力。在初中数学中需要分类讨沦的问题主要表现三个方面：（1）有的数学概念、定理的论证包含多种情况，这类问题需要分类讨论。如平面几何中三角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、弦切角定理等的证明，都涉及到分类讨论；（2）解含字母参数或绝对值符号的方程、不等式，讨论二次函数中二次项系数与图象的开口方向等，由于这
7、些参数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果，这类问题就需要分类讨论；(3)有的数学问题，虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同，这类问题也要分类讨论。4、数形结合思想所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来，从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时不直观，形少数时难入微”。有些数最关系，借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计算和分析得以严谨化。在初中阶段，数形结合的“形”可以是数轴、函数的图象和几何图形等等，它们都具有形象化的特点。数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面
8、：（1）以形助数，帮助学生深刻理解数学概念，如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法；运用函数图象的性质讨沦一元二次方程的根以及讨论一元一次不等式等等；（2）以数助形，帮助学生简化解题方法。初中数学中还渗透了类比、归纳、联想等数学思想方法，这些思想方法之间，是相互渗透、互相促进的，在数学教学中要有机地结合起来。二、 了解数学新课标要求，把握教学方法1新课标要求，渗透“层次”教学。数学新课标对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想
9、、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在数学新课标中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在数学新课标中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”
10、这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但数学新课标只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。2从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者
11、之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创
12、新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。三、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育要达到数学新课标的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：1渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌
13、输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中数学七年级上册课本有理数这一章中“有理数大小的比较”，它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受。在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误
14、做法。2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中
15、，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。3、掌握“方法”，运用“思想”。数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如 ，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学
16、生真正理解、掌握类比的数学方法。4、提炼“方法”，完善“思想”。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。四、把握教学各个环节，渗透数学思想方法问题是数学的心脏,方法是数学的行为,思想是数学的灵魂.不管是数学概念的建立,数学规律的发现,还是数学问题的解决,乃至整个数学大厦的构建,核心问题在于数学思想方法的培养和建立.在一个人的一生中,最有用的不仅是数学知识,更重要的是数学的思想和数学的意识.因此,在数学教学中,不仅要重视知识形成过程,还要十分重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的数学思想方法.1、在备课中,有意识地体现数学思想方法，教师要进行数学思想方法的教学
