“平面几何”竞赛问题的简单剖析

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1、“平面几何”竞赛问题的简单剖析平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科。初中重点学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，是学习逻辑分析、论证的方法，促使学生逐渐具备可持续发展的能力。本文选取一些试题作剖析，内容涵盖初中几何的大部分知识点，侧重归纳解题方法、探寻解题思想、期望以点带面起到抛砖引玉之作用，使大家能初步感受和把握初中数学竞赛试题在几何层面命题的一些脉络。例1 如图1，AOB=45，角内有一点P，PO=1，在角的两边上有两点Q、R（均不同于点O），则PQR的周长的最小值为多少？略解 如图1，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2、P1P2（P1P

2、2分别交OA、OB于点Q、R）、P1P、P2P.易证P1O=P2O=PO=1,P1OP2=245=90 且 P1Q=PQ,P2R=PR , 则PQR的周长=P1P2 图1而在RtP1OP2中,显然P1P2=则PQR的周长的最小值为. 关于最小此处证略.点评 含45(或135)角的三角形与直角(90)或正方形之间存在着内在联系.我们要善于挖掘题设中的隐含条件并及时总结；两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据之一，对称变换是研究此类问题较常用的方法.例2 一个六边形的六个内角都是120,连续四条边的边长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少?略解 如图2，六边形ABCDEF的每个内

3、角都为120，且AF=1，AB=BC=3，CD=2.如图2延长相应的边分别交于三个点P、Q、R,易证PAF、QBC、RED、PQR均为等边三角形，而PQ=PA+AB+QB=AF+AB+BC=7，图2所以DE=DR=7QCCD=2，EF=7PFER=4则该六边形的周长为15.点评 把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法.本题是抓住六边形的每个内家为120这个特性,将其转化为特殊三角形(等边三角形),从而使问题得解.例3 如图3,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=2,PC=4.求ABC的边长.略解 将PAB绕点B逆时针旋转60等到HCB,再连接HP,如图3易

4、证HPB为等边三角形,则有HP=BP=2,而HC=PA=2,PC=4所以 HC2+HP2=PC2 ,即HCP为Rt而HC=2,PC=4,所以CPH=30,则 CPB=90所以 BC=2点评 在特殊图形中(如正三角形、正方形、圆)探讨问题时,图3旋转是常用的方法之一.本题通过旋转后,巧妙地将三条长正好为勾股数的一组边置于同一个三角形,从而使问题迎刃而解.例4 已知六边形ABCDEF中，M1，M2，M3，M4，M5，M6 分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA的中点.又M1M4,M2M5,M3M6 都分别平分六边形ABCDEF面积.如图4.求证: M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点.证明

5、设M1M4,M2M5 相交于点P,再连结PM3,PM6,以及PA,PB,PC,PD,PE,PF.易知四边形PABC的面积=2四边形PM1BM2的面积四边形PDEF的面积=2四边形PM4EM5的面积因为M1M4,M2M5都平分六边形ABCDEF面积所以五边形M1M4DCB的面积=五边形M2M5EDC的面积,除去公共部分五边形M2PM4DC的面积,可得四边形PM1BM2面积=四边形PM4EM5面积.由,得 四边形PABC的面积=四边形PDEF的面积注意到CPM3与DPM3等积, CPM6与DPM6等积因此折线M3PM6平分六边形ABCDEF的面积,但直线段M3M6也平分六边形ABCDEF的面积,所

6、以M3PM6的面积为0,即点P应在M3M6上. 所以 M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点.图4点评 “等底等高的两个三角形面积相等”、“三角形一边的中线平分这个三角形的面积”等定理或者推论在面积割补内容中既是基本知识点,运用又相当广泛,在推理中要根据题目条件恰当地加以运用,会比较轻松并有技巧地解决问题.例5 已知：如图5，在ABC中，ABC=124.求证:.证明 作ABC的外接圆及弦BD,使BD=BC图5则BAD=BAC,又CAB=CDB,BCD=CDB,CAD=2CAB=CBA=ADC,ABD=ACD=ACBDCB=ACBCDB=ACBCAB=3CAB=2CAB+CDB=CBA+CDB

7、=ADC+CDB=ADB, 由A、B、C、D四点共圆以及托勒密定理得 BCAD+BDAC=ABCD 即 BCAB+BCAC=ABAC 即 点评 形如这样的式子在转化为整式形式时变为:bc+ac=ab,其形式和托勒密定理类似,通常可以试试托勒密定理,从而需要构建以a、b、c、c为边及a、b为对角线的圆内接四边形.当然,这种形式的等式也可以采用其他证明方法,比如: 转化为线段的比例式（1） 可证和两个同分母的分式分别相等，例如. 当m+n=p时等式成立（2）可证明c,a,bc,b 四条线段成比例，关鍵是作出bc的差（3）可证明a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和例6 已知：O和O

8、1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交O于C，BP交O1于D，CE和O1切于点E.如图6求证：CECB证明 过点P作两圆公切线PQ交AB于Q由切线长定理，得QPQAQBAPB是Rt，APBRtBC是O的直径，BCAB根据射影定理，得BC2CPCACE切O1于E，图6根据圆幂定理，得CE2CPCACECB点评 竞赛数学在课本知识的基础上补充一些知识是必要的,本例所涉及射影定理,亦即直角三角形中成比例线段定理,如图7.图71. 圆幂定理亦即圆中成比例线段定理,如图8.若ABCD四点共圆，AB、CD交于P，则PAPBPCPDPT2图8（PT切圆于T）例7 已知：如图9,四边形ABCD中，过点

9、B的直线交AC于M，交CD于N，且SABCSABDSBCD134.求证：M，N平分AC和CD.证明 设SABC1，则SABD3，SBCD4，SACD3416.设k (0k1).连结AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得，SACN6k；, SAMN6kk6k2；图9, SBCN4k；, SABMk； SBMC1k.SACNSAMNSMNCSBCNSBMC6k6k2=4k(1k) . 6k2k1=0. k=；或k=.(k=.不合题意，舍去.)k=.AMMC，CNND .即M，N平分AC和CD.点评 有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.

10、其关键是正确选定参数和准确的进行计算. 联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.例8 已知：点O是ABC的外心，BE，CD是高.如图10.求证：AODE证明 延长AO交ABC的外接圆于F，连接BF.O是ABC的外心AF是ABC外接圆的直径，ABF=Rt.BE，CD是高，BDC=CEB=Rt.图10B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即AODE.点评 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：同弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角；圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系；圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线

11、定理.因此在解题可以根据需要画出辅助圆.同步练习一、填空题1. 如图11,ABC中,BAC=135,ADBC,BD=4,DC=6.则SABC=_.图12图112. 凸八边形ABCDEFGH的八个内角相等,边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7、4、2、5、6、2，则该八边形的周长=_.3. 如图12,A、B、C、D是圆周上的四点,且弦AB=8,弦CD=4,则图中两个弓形(阴影)的面积和=_.4. (2010年全国)如图13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是 O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（

12、2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 图15图14图13二、选择题5. (2010年全国)如图14，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）（A） （B） （C） （D）6.已知：如图15，圆内接四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的长分别为25，39，52，60，则圆的直径长为( )(A)62 (B)63 （C）65 （D）66 三、解答题7. 已知：在梯形ABCD中，ABCD，O是AC和BD的交点，OEAB交BC于有E.如图16. 求证：图17图168. 设一直线截ABC三边AB，BC，CA或延长线于D

13、，E，F.如图17.那么 （梅涅劳斯Menelaus定理）9. (2010年全国)如图18，ABC为锐角三角形，P，Q为边BC上的两点，ABP和ACQ的外接圆圆心分别为O1和O2.试判断BO1的延长线与CO2的延长线的交点D是否可能在ABC的外接圆上，并说明理由.图18 参考答案1.【答】 10. 提示：如图19，分别作EBA=ABC，ECA=ACB，再过点A分别作AFBE，AGCE，易知E=90，AD=AF=AG=EF=EG，利用勾股定理易求得AD的值，后略.图20图192.【答】 32+. 提示:易求该八边形每个内角为135,则可以构造出矩形,且矩形每个顶点处得到一个等腰直角三角形,从而根据勾股定理可得解.3.【答】 1016. 提示:如图20,作直径AE,连接BE.易得,相当于把通过一定角度的旋转而得到,后略.4.【答】. 提示:如图21，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是