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1、高中数学难点3 三角函数与函数方程三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.难点磁场1、()已知、为锐角，且x(+)0,试证不等式f(x)=x2对一切非零实数都成立.2.（）关于x的不等式232x3x+a2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .3.（）对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0) （1）若a=1,b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，
2、求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.案例探究例1设z1=m+(2m2)i,z2=cos+(+sin)i,其中m,R，已知z1=2z2，求的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要
3、运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：z1=2z2， m+(2m2)i=2cos+(2+2sin)i,=12cos2sin=2sin2sin1=2(sin)2.当sin=时取最小值，当sin=1时，取最大值2.解法二：z1=2z2 ,=1. m4(34)m2+428=0,设t=m2,则0t4,令f(t)=t2(34)t+428,则或f(0)f(4)0 0或02.的取值范围是，2.例2如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角起跳，落至B点，令OB=L，试问，=30时，L的最大值为多少
4、？当L取最大值时，为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：由整理得：v0cos=v02+gLsin=g2t2+=gL运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=mv02, v02=2gh,L=200(m)即Lmax=200(m),又g2t2=. 得cos=cos,=30L最大值为200米，当L最
5、大时，起跳仰角为30.例3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b.(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是3010=20()；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+
6、)+b的半个周期的图象.=146,解得=,由图示A=(3010)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+)+20,将x=6,y=10代入上式可取=.综上所求的解析式为y=10sin(x+)+20,x6,14.例4在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.
7、知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30 sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中，据正弦定理得， 答：此时船距岛A为千米.锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：1.考查三
8、角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.歼灭难点训练一、选择题1.()函数y=xcosx的部分图象是( )2.()函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填
9、空题3.()函数f(x)=()cosx在，上的单调减区间为_.4.()设0，若函数f(x)=2sinx在，上单调递增，则的取值范围是_.三、解答题5.()设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论、为何实数恒有f(sin)0和f(2+cos)0.(1)求证：b+c=1；(2)求证c3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.6.()用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.()有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一
10、边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.()设x，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值.9.()是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.函数练习二一、选择题1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A.B.2 C. D. 或22.()给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；
11、(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.43.()若f(x)=在点x=0处连续，则f(0)等于( )A. B.C.1D.04.（）已知函数f(x)=loga(2a)2对任意x,+都有意义，则实数a的取值范围是( )A.(0, B.(0,) C.,1 D.(,）5.（）函数f(x)的定义域为R，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)=2x2x+1，那么当x1时，f(x)的递减区间是( )A.，+ B.(1, C.,+ D.(1
12、,二、填空题1.()已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.2.()在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_. 3.() =_.三、解答题1. ()在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=，试求A、B、C的值.2.()求函数f(x)=的不连续点和连续区间.3.（）设集合A=x4x2x+2+a=0,xR.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围.4.（）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且
13、a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.参考答案难点磁场1、证明：若x0，则+、为锐角，0;0,0sin()sin.0sin()sin，0cossin,0cossin,01,01,f(x)在(0,+)上单调递减，f(x)f(0)=2.若x0,+,、为锐角，0,0,0sinsin(),sincos,0sinsin(),sincos,1, 1,f(x)在(,0）上单调递增，f(x)f(0)=2,结论成立.2、解析：设t=3x，则t1,3，原不等式可化为a2a32t2+t,t1,3.等价于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3
