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1、三角形的五心一、三角形的重心1、三角形重心的定义：三角形重心是三角形三边中线的交点. 2、三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.例1: 在ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心如果AG=6，那么线段DG的长为（）A2 B3 C6 D12重心顺口溜：三条中线必相交,交点位置真奇妙,交点命名为“重心”,重心性质要明了， 重心分割中线段,线段之比听分晓:长短之比二比一,灵活运用掌握好 二、三角形的垂心1、三角形垂心的定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.2、三角形垂心的性质：锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心在三角形直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部
2、.例2:如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D都有可能垂心顺口溜：三角形上作三高，三高必于垂心交；高线分割三角形，出现直角三对整；直角三角有十二，构成九对相似形；四点共圆图中有，细心分析可找清.三、三角形的内心1、三角形内心的定义：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心.2、三角形内心的性质：设ABC的内切圆为I(r)，A、B、C的对边分别为a、b、c.（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 例3: 如图，在RtABC中，C=90，AC=3，B
3、C=4，O是ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODA=_ （2）BIC=90+A.例4:如图，在ABC中，A=70，点O是内心，则BOC=_ 3.三角形内切圆半径(1)在RtABC中，C=90， 例5:如图，RtABC中，C=90，AC=6，BC=8则ABC的内切圆半径r=_. (2)在RABC中，C=90， (3)任意ABC中，例6:设ABC的内切圆半径为3cm，ABC的周长为20cm，则ABC的面积是_cm内心顺口溜：三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然四、三角形的外心1、三角
4、形外心的定义：在三角形中, 三角形三边中垂线的交点是这个三角形外接圆的圆心，而三角形外接圆的圆心就叫做三角形的外心.三角形的三个顶点就在这个外接圆上. 2、三角形外心的性质：设ABC的外接圆为G(R)，A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外. 例7: 已知ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则ABC的外心在（）AABC内 BABC外 CBC边中点 DAC边中点（2）BGC=2A，（或BGC=2(180-A). 例8:如图所示ABC内接于O，若OAB=28，则C的大小是（）A56 B62 C28
5、 D323.三角形外接圆半径设三角形三边及其对角分别为a、b、c，A、B、C .，例9:三角形的一边长为a，它的对角为30，则此三角形的外接圆的半径为_ 外心顺口溜：三角形有六元素，三个内角有三边 作三边的中垂线，三线相交共一点 此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键五、三角形的旁心1、三角形旁心的定义：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆.旁切圆的圆心叫做三角形的旁心. 2、三角形旁心的性质：（1）三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心. （2）旁心到三角形三边的距离相等. （3）三角形有三个旁切圆，三个旁心.旁心一定在三角形外.附：当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.
